決定可能性の決定は決定可能ですか？

問題の決定可能性を決定することが決定可能な問題かどうか疑問に思っています。私は推測していませんが、最初の検索の後、この問題に関する文献を見つけることができません。

computability undecidability decision-problem

— 同期する
ソース

ヨ、仲の良い友達、私は...そう決定可能性のようなあなたを聞いた

— デビッドRicherby

基本的に「自明、いいえ」と「自明、はい」という2つの答えが示すように、あなたの質問は現在の形式では答えられません（「いいえ」に対する「いいえ」というボーナスコメント付き）。問題が決定可能かどうかを尋ねましたが、その問題が何であるかを定義していません。特に、入力は何ですか？問題が決定可能かどうかを示すチューリングマシンを設計する場合、その問題をへの入力として与える必要があります。しかし、あなたはどうやってそれをしますか？

M

$M$

M

$M$

— デビッドリチャービー

現在の答えを考えると、「決定は決定可能か決定可能か決定可能か？」という質問がありますが、私はそれを尋ねるつもりはありません:

— マーク・ハード

回答:

私のオリジナルの主要な編集：

あなたの質問の素朴な読み方は、問題にしているようです $P$

$P=$ 言語与えられた場合、それは決定可能ですか？ $L$

それからあなたは尋ねる

ある決定可能では？ $P$

DWとDavidが指摘したように、答えは「はい」です。ただし、2つの些細な決定者のうちどちらが正しい決定者であるかはわかりません。あなたの問題をそれほど簡単ではないようにフレーム化するために、私はこれを提案します。まず、TM受け入れられる言語である言語のみを考慮して、物事をわずかに制限しましょう。これを行う理由は、TMが言語を受け入れない場合、再認識（認識）できないため、再帰的（決定可能）にできないためです。その後、ようにリキャストできます。 $L(M)$ $M$ $P$

$P'=$ 説明がある場合、TMの、は決定可能ですか？ $\langle M\rangle$ $M$ $L(M)$

現在、はTM記述の言語であり、ように見える言語（寛容な解釈の下）ではなく、言語が決定可能かどうかを尋ねることは完全に合理的です。この読み取りの下で、言語 TMの説明から成るは決定可能ではありません。これは、ライスの定理の簡単な結果です。そのため、2つの答えがあります。解釈に応じて、「いいえ」とDWの「はい」です。 $P'$ $P$ $P'$

{⟨ M ⟩ ∣ M TMであり、 L （ M ） 決定可能です}

$\{\langle M\rangle\mid M \text{ is a TM and $L(M)$ is decidable}\}$

— リック・デッカー
ソース

ありがとうございました！少なくとも浅く理解すると、両方の答えは私が探していた情報を与えてくれました。それはおよそです。（言い回しは良くありませんが、私は知っていますが、より良い言い回しを考えることはできません。）非常に役に立ちます。特に両方の解釈を認めていること。

— 同期

すべての決定可能な問題には証明書（証明付きアルゴリズム）があり、すべての決定不可能な問題には証明書（決定不能な問題からの削減）があることを示すことで十分だと思いました。

— rus9384

さまざまな答えで見たように、答えの一部は正しい問題を定式化することです。

1985年、Joost Engelfrietは、巧妙な学生によって提起された質問への答えとして、「計算可能性の非計算可能性」（EATCS番号26、1985年6月、36〜39ページ）を書きました。残念ながら、BEATCSはその時点では紙のみであり、この記事には電子的な痕跡は残っていませんでした。

著者は、通常のブール演算子と変数を持つ（論理的な）形式主義があると仮定しています。その正確な定義は重要ではありません。式関数を指定（すべてのためのIFF ）ここで、真である数字であります数表します。 $\Psi$ $F(m,n)$ $f:\Bbb N \to \Bbb N$ $m,n\in \Bbb N$ $f(m)=n$ $\Leftrightarrow$ $F(\underline m,\underline n)$ $\underline m$ $m$

私は引用する：

定理1。してみましょう計算し、非計算機能の両方れる形式主義も指定することができます。そして、任意の指定可能な関数（それを指定する式で与えられる）が計算可能かどうかを決定するアルゴリズムはありません。 $\Phi$ $\Bbb N \to \Bbb N$ $f$ $f$

楽しい部分は、論文で行われた次の観察にあります。

この定理は、形式化に当てはまることに留意されたいた全て次いで、非計算関数を指定することができるので、計算機能が（例えば、形式主義のための天然の条件）を指定することができます。 $\Phi$

— ヘンドリック・ヤン
ソース

はい。それは常に決定可能です。

問題Pについて、Pが決定可能かどうかを決定する問題をQとします。Qは決定可能であると主張します。その理由は次のとおりです。トートロジー的に、Pは決定可能かそうでないかのどちらかです。したがって、2つのプログラムのいずれかが正しい：（1）print "yup P is decidable"または（2）print "nope P is not decidable"。これらの2つのプログラムのどちらが正しいか、そのうちの1つが正しいかどうかを判断するのは簡単ではないので、Qの決定者は必ず存在します。したがって、問題Qは決定可能です。

これは、次の古典的な質問を連想させます。コラッツの予想が正しいかどうかを判断することは決定可能ですか？答えはイエスです。Collatzの予想が正しいかどうかは誰にもわからないため、これは奇妙に見えるかもしれません（これは有名な未解決の問題です）。しかし、私たちが知っていることは、コラッツの予想は真実であるかそうでないかのどちらかです。前者の場合、プログラムprint "yup it's true"は決定者です。後者の場合、プログラムprint "nope it's not true"は決定者です。どちらが有効な決定者であるかはわかりませんが、これは有効な決定者が存在することを証明するには十分です。したがって、問題は決定可能です。

— DW
ソース

リッキー・デッカーの質問の解釈は優れていると思います。問題の何らかのエンコーディングを考慮して、問題が決定可能かどうかを判断します。

— ユバルフィルマス

@ YuvalFilmus、OK、それは理にかなっています。合理的だと思う問題（つまり、言語）の有限のエンコーディングがあり、問題を些細なものにしませんか？言語の自然な有限エンコーディングは、その言語を認識するチューリングマシンとしてのものですが、リッキーデッカーの答えに対するあなたのコメントが示すように、それは問題を簡単にします。したがって、この種の問題に悩まされない他の合理的なエンコードが必要になります。そのための提案はありますか？

— DW

適切な言語で一次論理を使用できます。または、入力は0 '（たとえば）のマシン、つまり、停止しているオラクルにアクセスできるチューリングマシンである可能性があります。

— ユヴァルフィルマス

ライスの定理により、REユニバースでRを決定することさえ決定できないことがわかっています。それでは十分ではありませんか？（すべてのTMが決定者ではありません。）

— ラファエル

ありがとうございました！私が意図した解釈ではなく、これは私が尋ねた質問が私の意図を反映するほど十分に述べられていない理由を理解するのに役立ちました。

— 同期、