この最適化問題の効率的なアルゴリズム？動的プログラミング？

私が達成しようとしていることを表す図を作成しました。

フルサイズの画像

入力シーケンスでは、ノードは可能な限り互いに接近しています。しかし、私は白いノードをそれぞれの黒いノードにできるだけ近づけたいと思っています。ノード間のエッジを長くすると、このエラーを最小限に抑えることができます。短縮することはできません。したがって、1 -> 2たとえば4以上にすることができます。

可能な解決策を含めました。長くなったエッジにはラベルが付いています。エッジを長くすると、すべてのノードが右に移動することに注意してください。

この軸は連続ですが、それが役立つ場合、私はおそらくそれを離散化することができます。

私は動的プログラミングのアプローチがうまくいくと考えていますが、よくわかりません-私はDPがあまり得意ではありませんでした。

これを解決できる最速の実行アルゴリズムは何ですか？これは、よく知られている問題として分類/再構成できますか？

これは、@SébastienLoiselの回答の単なる拡張です。

最小化に注意 $(x_i-y_i)^2$ 従う $x_i-x_{i-1}\ge c_i$ 最小化と同等です $(x_i-(y_i-c_i))^2$ 従う $x_i\geq x_{i-1}$。しましょう$a_i=y_i-c_i$、これは正確に等張回帰です問題です。存在します$O(n)$ 時間アルゴリズム。

軸を離散化すると、動的プログラミングを使用できます。ボールごと$b$ そして実現可能な場所 $\ell$ （妥当な範囲内）、最初の二乗平均誤差を計算します $b$ボール。これは通常、ボールに関する同じ種類の情報のみを実行できます$b-1$。

これは二次計画です。の合計を最小化しようとしています$(x_i-y_i)^2$ 従う $x_i-x_{i-1}\ge c_i$。