パラメータ化された複雑さのカーネル

（問題の）カーネルとは何か、またそれらの用途は何かを誰かに説明できますか？私のスライドは言う：

パラメータ化された問題のカーネル $L$ 変容です $(x,k) \mapsto (x',k')$ そのような：

• $(x,k) \in L \Leftrightarrow (x',k') \in L$
• $|x'| \leq f(k)$ いくつかの機能のために $f$
• $k' \leq g(k)$ いくつかの機能のために $g$
• 変換は多項式時間で計算する必要があります。

私の質問は：

• これは、固定パラメータが扱いやすいという問題とどのように関連していますか？
• カーネルが便利な理由は何ですか？
• この定義はどこから来たのですか。

スライドの例は頂点カバーの例ですが、実際にはわかりません。スライドが少し短いためです。

直感的に、カーネル化アルゴリズムは、多項式時間で所定のインスタンスを前処理し、サイズがパラメーターで制限されているインスタンスを出力するアルゴリズムです。カーネル化の目標は（少なくとも）2つあります。証明可能なパフォーマンス保証が得られます。つまり、アルゴリズムの設計と複雑さの測定の両方に用途がある出力インスタンスの上限を証明できます。

より正式には、カーネル化アルゴリズム（カーネルと呼ばれることが多い）は、入力に関する問題のアルゴリズムです。 $(G,k)$同等のインスタンスを出力します $(G',k')$ と $\max\{|G'|,k'\} \leq f(k)$ いくつかの機能のために $f$。さらに、アルゴリズムは多項式時間で実行する必要があります。

次の結果は、カーネルの能力が、いわば固定パラメータの扱いやすさ（PDF）の能力と同等であることを示しています。

定理（民俗学）。 問題が解決できるのは、カーネルが認められ、決定可能である場合に限り、解決可能な固定パラメーターです。

カーネルの概念は固定パラメーターの扱いやすさと一致しますが、関数を要求するカーネル化のより強力なバージョンがあります。 $f$ 上記は多項式です。

元の定義を見たい場合は、パラメーター化された複雑さに関するダウニーアンドフェローズの本を読むか、上記のニーダーマイヤーのハビリテーションの論文から始めることをお勧めします。カーネル化に関するウィキペディアの記事もあります。