min-heap automataが受け入れる言語の補完の下での閉鎖の証明

これは、のフォローアップの質問です、この1。

エキゾチックなステートマシンに関する以前の質問で、アレックステンブリンクとラファエルは、特殊な種類のステートマシン、つまり最小ヒープオートマトンの計算機能について説明しました。彼らは、そのようなマシン（）が受け入れる言語のセットが、文脈自由言語のセットのサブセットでもスーパーセットでもないことを示すことができました。その問題の解決に成功し、その問題に明らかに関心があることを踏まえて、私はいくつかのフォローアップの質問を続けます。$HAL$

通常の言語はさまざまな操作の下で閉じられることが知られています（ユニオン、インターセクション、補数、差分、連結、クリーネスター、反転などの基本的な操作に制限される場合があります）。プロパティ（これらは、結合、連結、クリーネスター、および反転の下で閉じられます）。

HALは補完の下で閉鎖されていますか？

主張：は補完に対して閉じられていません。$\mathrm{HAL}$

証明のアイデア：（単項ではないアルファベットを表すパリンドロームの言語）がないことに同意しました。私たちは、ことを示して。これはタイプ1でのみ機能します（タイプ2は受け入れることができるため）。ただし、証明はタイプ2に適合させることができます。以下を参照してください。$\mathrm{EPAL}$$\mathrm{HAL}$$\overline{\mathrm{EPAL}} \in \mathrm{HAL}$
$\mathrm{EPAL}$

証明：注意

$\qquad \displaystyle \begin{align*} \overline{\mathrm{EPAL}} &= \{vw : |v|=|w|, v\neq w^R\} \\ &\cup\ \,\{w : |w| \in 2\mathbb{N}\!+\!1\} \end{align*}$

次のように機能する2つのヒープシンボルで最小ヒープオートマトンを作成します。$b < a$

• 開始状態で、入力の長さが均一かどうかを非決定的に決定します。
• 不均一なパスでは、有限制御を使用して、長さが奇数の場合にのみ入力を受け入れます。
• 偶数パスで、次のように進みます： $$\underbrace{v_1\ \dots\ \mathbf{v_{i}}}_{+a}\ \underbrace{v_{i+1}\ \dots\ v_n}_{+b}\ \underbrace{w_n\ \dots\ w_{i+1}}_{-b}\ \underbrace{\mathbf{w_i}\ \dots\ w_1}_{-a}$$
  • すべての読み取りシンボルのヒープにを1つ追加ことから始めます。$a$
  • 非決定的に決定された位置に、有限の制御において現在のシンボルを格納する一つ追加を開始（ノーすべて読み出しシンボルのヒープに）。$b$$a$
  • 非決定的に決定された位置で、シンボルの追加を停止し、入力シンボルごとに1を消費します。$b$
  • すべてのが消費されたら、現在のシンボルをコントロールに格納されているシンボルと比較します。それらが等しくない場合は、続行してください。そうでなければ、入力を拒否します。$b$
  • 入力シンボルごとに1つずつ使用ます。入力が終了すると同時にヒープが空の場合は、単語を受け入れます。それ以外の場合は拒否します。$a$

説明されている最小ヒープオートマトンは、受け入れます。その補足として、、ではありません、我々は主張を証明されています。$\overline{\mathrm{EPAL}}$$\mathrm{EPAL}$$\mathrm{HAL}$

注：証明を同じ方法で行うことができる（である）およびその補体。これは結果の上でタイプ2に拡張されます。$\{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$\mathrm{CSL} \setminus \mathrm{HAL}$