番目のフィボナッチ数を計算する効率的なアルゴリズム

フィボナッチ数目は、次の再発を用いて線形時間で計算することができます。$n$

def fib(n):
    i, j = 1, 1
    for k in {1...n-1}:
        i, j = j, i+j
    return i

フィボナッチ数番目はまた、計算することができる[ φ N / $n$。ただし、これにはnが比較的小さい場合でも丸めの問題があります。おそらくこれを回避する方法はありますが、私はそれをやめたいです。$\left[\varphi^n / \sqrt{5}\right]$$n$

浮動小数点演算に依存しないn番目のフィボナッチ数を計算するための効率的な（値以上の対数）アルゴリズムはありますか？整数演算（+、−、×、/）を一定の時間で実行できると仮定します。$n$$n$$+$$-$$\times$$/$

行列乗法と恒等式 計算モデルでは、繰り返しの2乗を使用してパワーを実装する場合、これはO （log n ）アルゴリズムです。

この数学的記事を読むことができます：大きなフィボナッチ数を計算するための高速アルゴリズム（高橋大 read ）： PDF。

さらに簡単に、C ++（GMPの有無にかかわらず）およびPythonでいくつかのフィボナッチのアルゴリズムを実装しました。Bitbucketの完全なソース。メインページから、次のリンクにアクセスすることもできます。

• C ++ HTMLオンラインドキュメント。
• 小さな数学文書： フィボナッチ数-良いアルゴリズムを実装するためのいくつかの関係

最も有用な式は次のとおりです。

• $F_{2n} = F^2_{n + 1} - F^2_{n - 1} = 2 F_n F_{n - 1} + F^2_n$
• $F_{2n + 1} = F^2_{n + 1} + F^2_n$

アルゴリズムに注意してください。同じ値を複数回計算しないでください。単純な再帰アルゴリズム（Python）：

def fibonacci_pair(n):
    """Return (F_{n-1}, F_n)"""
    if n != 0:
        f_k_1, f_k = fibonacci_pair(n//2)  # F_{k-1},F_k with k = n/2

        return ((f_k**2 + f_k_1**2,
                 ((f_k*f_k_1)*2) + f_k**2) if n & 1 == 0  # even
                else (((f_k*f_k_1)*2) + f_k**2,
                      (f_k + f_k_1)**2 + f_k**2))
    else:
        return (1, 0)

$O(\log n)$

で定数係数を使用して線形回帰を計算するための基本理論とコード $O(\log_2 n)$http://www.jjj.de/から入手できます。

無料の本Matters Computationalとpari / gpコードを確認してください。