「一方向の」コンサートで負けた

あなたと友人は、コンサートのライン上でお互いを失いました。正式には、それぞれが何らかの整数座標にあり、より高い座標に向かって歩くか、所定の位置にとどまることがあります。

あなたとあなたの友人がまったく同じアルゴリズムに従っていると仮定して（そして、いいえ、「if（name == "R B"）何もしない:)」と仮定し、あなたの二人の間の最初の距離はでしたあなたに知られている）。 $x$

あなたとあなたの友人が出会うまで、予想される歩行距離を最小化するアルゴリズムは何ですか？

あなたはあなたの友人とあなた自身が同じ一定の速度で動いていると仮定するかもしれません。

簡単なアルゴリズムの例は次のようになります。

ステージ（から開始）： $n$ $0$

右のwpにステップ歩きます $3^n$ それ以外の場合はまたは時間単位待機します。 $\frac{1}{2}$ $3^n$

このアルゴリズムを見るために、友人は確率1で会い。ステージで何が起こるかを考え。一歩進んだ友人が常に歩き、もう一方が常に所定の位置に留まったとしても、両者の距離は $(\log_3 x+1)$ $x$

x + 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{\log_{3} x} = 2 x + \frac{x - 1}{2} \leq 3 x

$x+1+3+9+\ldots+3^{\log_3 x}=2x+\frac{x-1}{2}\leq 3x$

したがって、反復で、歩くことを選択した友人は、距離をカバーするため、確率 $\log_3 x+1$ $3^{\log_3 x+1}=3x$ 、背後にいる友人が追いつき、彼らは会います。 $\frac{1}{4}$

単純な最適化（歩行距離を短縮する）は、ステップを歩く代わりに、ステップを歩くことです。ここで、は与えられます。 $3^x$ $c^x$ $c$

2 + \frac{1}{c - 1} = c

$2+\frac{1}{c-1}=c$

したがって、このアルゴリズムの最適なは $c$ $c=\frac{3+\sqrt 5}{2}\approx 2.618$

残念ながら、このアルゴリズムは友人が確率1で会うことを保証しますが、予想される歩行距離は無限です。これは可能な限り避けたいものです。

より効率的なアルゴリズムはありますか？

algorithms randomized-algorithms

— RB
ソース

「予想される歩行距離」と言うとき-最悪の場合、つまりアルゴリズムが確率的であるということですか、それとも入力に何らかの分布があると仮定しますか？また、アルゴリズムが常に正しいか、正しいWP 1である必要がありますか？（またはそれ以下？）-ここで提示するアルゴリズムは停止しない可能性があることに注意してください（ただし、wp 0）

— Shaull

これは線形検索の問題（en.wikipedia.org/wiki/Linear_search_problem）に似ています。

— ユヴァルフィルマス

@Shaull-両方の友人が同じアルゴリズムに従っているため、確率的である必要があります。期待は、アルゴリズムのランダム化を超えています。

— RB

あなたのアルゴリズムでは、一定の速度

右に

単位時間歩くことを意味しますか？

歩歩くと

^ n時間は話せないかもしれません。

2^{n}

$2^n$

C

$C$

2^{n}

$2^n$

— 吖奇说ARCHYSHUō15年1

@ 0a-archy-両方が同じ速度で移動していると仮定します（1

この問題の

単位）。私が与えたアルゴリズムのアイデアは、

ステップ歩くか、同等の時間待機することであるため、各反復は両方のプレーヤーで同時に開始されます。

\frac{step}{time unit}

$\frac{\text{step}}{\text{time unit}}$

2^{n}

$2^n$

— RB

ステップにおいて、乱数描画間に一様に、、および。 $k$ $q$ $1$ $2$ $3$

$q = 1$ $2^{k-1}$ $2^{k+1}$ $2^{k-1}$

$q = 2$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$ $2^{k}$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$

$q = 3$ $2^k$ $2^k$ $2^k$

$k$ $2^k$ $k < \log_2(x) + 1$ $k >= \log_2(x) + 1$ $1/3$

したがって、予想される歩行距離は次のようになります（上に制限されます）。

2 (\sum_{k = 0}^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} 2^{k} + 3^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} \sum_{k = ⌈ \log_{2} (x) ⌉ + 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{k})

$2\left(\sum_{k=0}^{\lceil\log_2(x)\rceil}2^k+3^{\lceil\log_2(x)\rceil}\sum_{k=\lceil\log_2(x)\rceil+1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k\right)$

$2^{\lceil\log_2(x)\rceil+3}-2 \le 16x$

$d$ $\forall D>0, \mathrm{P}(d>D) > 0$ $\sum_{D=0}^{\infty}\mathrm{P}(d=D)\cdot D = \mathbb{E}[d]$ $d$ は非常に強力なプロパティであり、それを満たすソリューションを見つけることは不可能だと思います。

— デビッド・ダールマン
ソース