数に等しい二項係数を見つけることの複雑さ

バイナリエンコーディングでビットを使用して）数値取得していると仮定します。 $m$ $O(\log m)$

どれだけ速く見つけることができますか（またはそのようなものが存在しないと判断し

n, k \in N, 1 < k \leq \frac{n}{2} : (\binom{n}{k}) = m

$n,k\in \mathbb N, 1<k\leq\frac{n}{2}:{n \choose k}=m$ か

？

たとえば、入力与えられた場合、 $m=8436285$ 出力できます。 $n=27, k=10$

問題の単純なアルゴリズムは、すべての可能な値を調べ、プロパティを満たす $n$ 値を検索します。 $k$

簡単な観察は、より小さいまたはより大きい値をチェックする必要がないということです。ただし（値ごとに可能な値のみをチェックできたとしても）これは、入力サイズが指数関数的である非効率的なアルゴリズムになります。 $n$ $\log m$ $O(\sqrt m)$ $O(1)$ $k$ $n$

別のアプローチは、の可能な値 $k$ を調べて（をチェックするのに十分です $\{2,3,\ldots,2\log m\}$ ）、 $n$ 値をチェックするたびに行います。その後、次を使用できます：

{(\frac{n}{k})}^{k} < (\binom{n}{k}) < \frac{n^{k}}{k!}

$\left(\frac{n}{k}\right)^k<{n\choose k}< \frac{n^k}{k!}$

したがって、与えられた、範囲値 $k$ のみをチェックする必要があります、バイナリ検索を使用して（が固定されている場合、は単調に増加し）、これは。 $n$ $[\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}k]{m\cdot k!},\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}k]{m}\cdot{k}]$ $k$ $n \choose k$ $n$ $O(\log^2m)$

これはまだ私には非効率的なようで、これは線形時間（入力サイズ）で解決できると思います。

algorithms combinatorics

— RB
ソース

これまでに何を試しましたか？ヒント：も与えられたと仮定します。これを解決できますか？の可能な値の範囲は？または、が与えられたと仮定します。その場合は解決できますか？の可能な値の範囲は？

n

$n$

n

$n$

k

$k$

k

$k$

— DW

というのは正しくありません。例えば。 $(n-k)^k<{n\choose k}$ ${9\choose 2} = 36 < 49 = (9-2)^2$

私は（まだ）二項係数の算術特性を使用した微妙な解決策を見つけていませんが、それが役立つ場合は、多少強引なものを提案できます:-)

各について、初期推定（たとえば）を取得し、Newton-Raphsonなどの分析手法を使用して解くことができます。を解き。に関する左辺の導関数はここで、は計算が簡単なディガンマ関数です。。 $k$ $n$ $\sqrt[k]{k!\cdot m}$ ${n\choose k} - m = 0$ $n$ $(\psi(n+1)-\psi(n-k+1)){n\choose k}$ $\psi$

Newton-Raphson検索の複雑さは、関数とその導関数の計算の複雑さ、およびソリューションに必要な桁数のみに依存します（この場合、最も近い整数が必要です）。

だから、全体のそれぞれについて、探索があるべき（二項係数を計算すると、一定の時間を要すること、あなたが行っているように見えるとして、仮定した場合）、のために、あなたの限界を利用したアルゴリズムのためので、合計複雑なり。 $k$ $O(1)$ $k$ $O(\log(m))$

— デビッド・ダールマン
ソース

私は境界がオフになっていることに同意しますが（編集を参照してください、ありがとう）、が取る場合、検索がなぜ行われるのか説明できますか？

k

$k$

O (1)

$O(1)$

— RB