決して停止せず、終了しない証拠がないプログラムはありますか？

コンピューターサイエンスのブラックホールのように。私たちはそれらが存在することしか知ることができませんが、それらの1つを持っているとき、それがそれらの1つであることを決して知ることはありません。

確かにこのようなプログラムがあります。これを証明するために、停止しないすべてのマシンについて、停止しない証拠があると仮定しましょう。

これらの証拠は、有限の長さの文字列であるので、我々は以下の長さのすべての証拠を列挙することができますいくつかの整数のための。$s$$s$

次に、これを使用して、次のように停止問題を解決できます。チューリングマシンと入力xが与えられた場合、次のアルゴリズムを使用します。$M$$x$

s := 0
while (True)
    test if machine M halts on input x in s steps
    look at all proofs of length s and see if they prove M doesn't halt on input x
    set s := s + 1

場合は入力の停止のx、それはステップのいくつかの有限数で停止sの私たちのアルゴリズムが終了するので、。$M$$x$$s$

$M$$x$$s$$M$

したがって、常に終了する停止問題を決定するアルゴリズムがあります。しかし、私たちはこれが存在できないことを知っているので、非停止の証拠が常にあるという私たちの仮定は誤りでなければなりません。

もう少し具体的な例として、証明に使用している理論に次の（非常に合理的な、IMO）機能があると仮定します。

1. それは一貫しています。つまり、矛盾を証明することはできません。
2. その公理のセットは再帰的に列挙可能です。
3. その証明は、有限のビット列として書き留めることができます。
4. 与えられた文字列がその中の整形式で正しい証明をエンコードするかどうかという問題は、有限時間でアルゴリズム的に決定できます。
5. ゲーデルの2番目の不完全性定理の証拠を認めるのに十分な表現力があり、それはそれ自体の一貫性を証明できないと言っています。

これらの仮定では、次のプログラムは停止することはありませんが、停止しないことを証明することはできません（使用している理論の範囲内で）。

let k := 0;
repeat:
    let k := k + 1;
    let s := binary expansion of k, excluding leading 1 bit;
while s does not encode a proof of a contradiction;
halt.

ここでの重要な詳細は、上記の最初の仮定です。つまり、証明に使用している理論は一貫しているということです。明らかに、私たちの証明に価値があるためにはこれを仮定する必要がありますが、ゲーデルの2番目の不完全性定理は、合理的に表現的で効果的に公理化された理論では、実際にこれを証明することはできません（おそらく他の理論では、などを想定する必要があります）。