PSPACE≠EXPTIMEであると考えるのはなぜですか？

PSPACEが一般的にEXPTIMEと異なると考えられる理由を直感的に理解するのに苦労しています。PSPACEが入力サイズ空間多項式で解ける問題の集合である場合、指数時間の爆発が大きくなり、指数空間を使用しない問題のクラスはどのようになりますか？ $f(n)$

ユバル・フィルマスの答えはすでに非常に役立ちます。しかし、誰もがそれはなぜ私の緩い引数スケッチできたかもしれない PSPACE≠EXPTIME（すなわちPSPACEはEXPTIMEの適切なサブセットではないこと）というケースもが？入力サイズで多項式的にスケーリングする空間で達成可能なシステム構成の総数の上限を超えるために、指数空間が必要ではないでしょうか？言うまでもなく、なぜEXPTIME≠EXPSPACEが未解決の問題なのかは理解できますが、PSPACEとEXPTIMEの関係については理解できません。

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— user25876
ソース

定義を更新しましょう。

PSPACEは、多項式空間の境界を持つ決定論的チューリングマシンで解決できる問題のクラスです。つまり、そのような問題ごとに、入力に長さがあるときに最大テープセルを使用して問題を決定するマシンがあります、いくつかの多項式。 $p(n)$ $n$ $p$
EXPは、指数関数的な時間境界を持つ決定論的チューリングマシンで解決できる問題のクラスです。そのような問題ごとに、入力の長さがである場合、最大ステップを使用して問題を決定するマシンがありますいくつかの多項式。 $2^{p(n)}$ $n$ $p$

まず、これらの2つのクラスが等しい可能性があると言う必要があります。それらは異なる可能性が高いように見えますが、クラスが同じであることが判明する場合があります。たとえば、2004年にReingoldは対称ログスペースが通常のログスペースと同じであることを証明しました。1987年、ImmermanとSzelepcsényiは独立してNL $\;=\;$ co-NL（そして実際、そのNSPACE [ ] $f(n)$ $\;=\;$ 共NSPACE [ ] $f(n)$ いずれかに対する）。 $f(n)\geq \log n$

しかし、現時点では、ほとんどの人がPSPACEとEXPは異なると考えています。どうして？2つの複雑度クラスでできることを見てみましょう。PSPACEの問題を検討してください。長さ入力を解くためにテープセルを使用することは許可されていますが、それを時間制限で指定されるEXPと比較することは困難です。 $p(n)$ $n$

PSPACEの問題にどれくらいの時間を使うことができますか？テープセルのみに書き込む場合、バイナリアルファベットを想定して、テープに表示される可能性のある異なる文字列があります。テープヘッドは異なる場所のいずれかにあり、チューリングマシンは異なる状態のいずれかになります。したがって、構成の総数は $p(n)$ $2^{p(n)}$ $p(n)$ $k$ $T(n) = k\,p(n)\,2^{p(n)}\!$ 。ピジョンホールの原理により、ステップで実行する場合、構成に2回アクセスする必要がありますが、マシンは決定論的であるため、ループを繰り返し、同じ構成に無限に頻繁にアクセスします。つまり、停止します。PSPACEにいるという定義の一部は問題を決定する必要があるということなので、終了しないマシンはPSPACEの問題を解決しません。言い換えると、PSPACEは最大でスペース、最大でを使用して決定可能な問題のクラスです。 $T(n)+1$ $p(n)$ 時間。これは、多項式最大です。そのため、PSPACE $k\,p(n)\,2^{p(n)}$ $2^{q(n)}$ $q$ $\;\subseteq\;$ EXP。

また、EXP問題に使用できるスペースはどれくらいですか？さて、ステップが許可されており、チューリングマシンのヘッドは各ステップで1つの位置しか移動できません。ヘッドは超える位置に移動できないため、その数のテープセルしか使用できません。 $2^{p(n)}$ $2^{p(n)}$

それが違いです。PSPACEとEXPはどちらも指数時間で解決できる問題ですが、PSPACEは多項式空間の使用に制限されていますが、EXPは指数空間を使用できます。それはすでに、EXPがより強力であるべきであることを示唆しています。たとえば、グラフに関する問題を解決しようとしているとします。ではPSPACE、あなたが頂点のすべてのサブセットを見ることができます（それだけで取るのサブセットを書き留めてビット）。作業スペースを使用して各サブセットで計算できますが、サブセットの作業が完了したら、その作業スペースを消去して次のサブセットで再利用する必要があります。ではEXP $n$ 、一方で、すべてのサブセットを見ることができるだけでなく、作業スペースを再利用する必要がないため、それぞれについて学んだことを個別に覚えることができます。それはもっと強力なはずのようです。

なぜそれらが異なるべきかについての別の直観は、時間と空間の階層の定理が、ほんの少しでも多くの空間または時間を許可することで、計算できるものが厳密に増加することを教えてくれるということです。階層定理では、likeと比較することしかできません（たとえば、PSPACE $\;\subsetneq\;$ EXPSPACEおよびPEXP $\;\subsetneq\;$ ）ので、PSPACE対EXPには直接適用されませんが、より多くのリソースがより多くの問題が解決可能になることを意味します。

— デビッド・リチャービー
ソース

EXPTIMEが指数空間を許可する場合、正しい質問は、EXPSPACEが超指数時間で解決できる問題を考慮しているため、EXPTIMEがEXPSPACEの適切なサブセットであると言えますか？

— user25876 14

それが本当なら、私はすべてが理にかなっていると思う。何らかの理由で、EXPTIMEが指数空間の使用を禁止していると想定していましたが、そうではありません。これが私の混乱の原因です。

— user25876 14

サブセットの例が好きです。IIRCは正しく、オンラインで計算できない問題（および完全な情報）を知っているため、すべての要素をメモリに保持する必要があります。直感的に言えば。

— ラファエル

@ user25876はい、PSPACEマシンが指数時間を使用できるという同じ引数は、EXPSPACEマシンが二重指数時間（つまり、

）を使用できることを示しています。

2^{2^{p o l y} (n)}

$2^{2^\mathrm{poly}(n)}$

— デビッドリチャービー14

@DavidRicherbyあなたの答えを受け入れます。EXPSPACEの適切なサブセットとしてPSPACEを証明または反証するための技術的障壁について議論しているBTWの参考文献を知っていますか？私は実際にそれについて今非常に興味があります。

— user25876 14