無限アルファベットチューリングマシン

無限のアルファベットからシンボルを読み書きできるチューリングマシンは、通常のTMよりも強力ですか（唯一の違い、マシンにはまだ有限の状態数があります）？

各シンボルを区別するには無限の状態が必要なので、直感ではわかりません。したがって、一部のシンボルまたはシンボルによって引き起こされる遷移（または遷移の一部のサブセット）は同等でなければなりません。したがって、このようなマシンを通常のTMと、そのようなシンボルまたは遷移の境界付きサブセットで実際にシミュレートできます。

これを正式に証明するにはどうすればよいですか？

いいえ、より強力になります。遷移関数はもはや有限ではなく、それはあなたに多くの力を買います。

無限のアルファベットを使用すると、無限のセットからの任意の入力項目を1つのシンボルにエンコードできます（ただし、入力セットはアルファベットのセットよりも「無限大」にすることはできません。たとえば、アルファベットはおそらく無限に無限であるため、カウントできない要素は実数のようなセットは1つのシンボルで表すことができませんでした）。そして同様に出力のために。

したがって、1つの遷移で2つの状態（1つは初期、もう1つは受け入れる）の無限アルファベットTMを作成して、計算しようとしている関数に従って、受け入れ状態に移行し、テープヘッドの下のシンボルを変更できます。このレシピを使用すると、アルファベットと1対1で対応できるセット間のマッピングを計算できます。

したがって、その退化した種類のマシンがすべての答えになるのを回避するには、遷移関数が実行できることを制限する必要があります。明らかなのは、遷移関数自体が計算可能であることを要求することです（通常のTMの遷移関数は有限なので、結局のところ簡単に計算できます）。しかし、その後、計算可能な関数を使用して、計算可能な関数のモデルを定義しようとするでしょう。

上記の答えは正しいですが、無限のアルファベットと計算可能性について言えることはもう少しあります。

チューリングマシンはすべてのセットが有限であるとしてWPで記述されます。したがって、遷移関数$M = (Q, \Gamma,b,\Sigma,\delta, q_0, q_f)$

$$\delta: Q / F \times \Gamma \rightarrow Q \times\Gamma \times \{L,R \}$$ は必ず有限です。

無限アルファベットマシンでは、入力アルファベットを置き換え、テープアルファベットを置き換え、遷移関数をに置き換えます。$\Sigma$$\Sigma^{inf}$$\Gamma^{inf}$$\delta^{inf}$

$$\delta^{inf}: Q / F \times \Gamma^{inf} \rightarrow Q \times\Gamma^{inf} \times \{L,R \}$$

したがって、は必ず無限関数です。この関数が計算不可能であると述べたように、上記は有限に表現できません。を保持するとし$\delta^{inf}$$\delta^{inf}$可能であれば（部分）再帰を。問題は、アルファベットがこれを常に許可するかどうかです。

基本的な問題は、有限のアルファベットが全体として提示されることです（そのため、関数を再帰的に定義することを選択できます）が、無限のアルファベットを完全に提示することはできません。では、どのようなメカニズムでアルファベットが生成されるのでしょうか。

これを考慮する最も簡単な方法は、有限の「コア」アルファベットがあると想像することです。たとえば、ます。次に、言語生成します。文字列aabab想定します。次に、定義します。したがって、無限アルファベットは、ような単一のシンボルに連結されたの文字列のセットで構成されます。$A=\{a,b\}$$L \subset A^*$ $\in L$$\alpha = <abaab> \in \Gamma^{inf}$$L$$<abaab>$

このような最も単純なアルファベットは基本的に<1 *>であり、通常の言語では、各記号の垂直ストロークの数を数えることにより、2つの記号が区別されます。これは有限状態パーサーで計算できます（ただし、有限オートマトンとしてではなく、LBAとして）。チューリングは、TM演算での非有限演算の出現を回避するために有限アルファベットを主張しました。ただし、英語のアルファベットの26文字はこのカウントパターンに従っていないことに注意してください。文字zには26のストロークやドットなどは含まれていません。したがって、再帰的に列挙可能な（再）言語基づく最も一般的な計算パターンを使用して、他のパターンが可能です。$L$

ただし、ここでの問題は、の定義が明示的に指定されていない限り、を構築できないことです。これは、一部はreセットの等価性が決定できないためであり、一部はそれ以外の場合は処理する有限のサンプルしかなく、そこからを推測できないためです。場合は、我々が定義持っている（ひいては）ならば、で再帰的ですその後、、有限Aに再帰的で、かつので、絶対に再帰的とされは再帰的にすることができます。$\delta^{inf}$$L$$L$$L$$\Gamma^{inf}$$f$$\Gamma^{inf}$$f$$f$$\delta^{inf}$

最後に、がreではない場合を2つの例で考えます。$L$

例1。 IFF証明可能発散。この場合、アルファベットは明らかに有限の説明はありません。代わりに、時間の経過とともに "成長"します（計算限界で完全に定義されるだけです）。しかし、それはどんな場合でも一度に提示できない無限のアルファベットです。したがって、がで再帰的である場合、は停止セットにあります。したがって、を再帰的にすることはできません。 φ N（N ）Γ I N F F Γ I N F Δ 0 2 δ I N $<n>\in \Gamma^{inf}$$\phi_{n}(n)$$\Gamma^{inf}$$f$$\Gamma^{inf}$$\Delta_2^0$$\delta^{inf}$

例2。より幾何学的な例では、ペンローズのようなタイルを検討します。が平面をタイリングできると思われるN個の非周期的なタイルの単位である場合は、記号ます。ペンローズタイルのNタイルユニットを任意のNに対して構築できるため、このアルファベットは無限です。ただし、平面自体をタイリングすることは決定できないため、このようなタイルが発見されるとSのセットは大きくなります。可能中に再帰 S.におけるタイルのが、絶対的に再帰的ではないかもしれないF（S）=番号 S F Γ I N $S\in\Gamma^{inf}$$S$$f$$\Gamma^{inf}$