CookieボックスにいくつのCookieがありますか？—星を並べる

ホリデーシーズンが近づいてきたので、シナモンスターを作ることにしました。それは楽しかった（そして結果はおいしい）が、星の最初のトレイを箱に入れたときに私の内側のオタクが縮み、それらが1つのレイヤーに収まらなかった：

ほとんど！彼らがフィットする方法はありますか？とにかく星をどれだけタイルできますか？これらが通常の6点星であるとすれば、よく知られている六角形のタイルを近似として使用できます。

^{右上の1つをめちゃくちゃにしました。}

しかし、これは最適ですか？ヒントの間には十分なスペースがあります。

この考慮のために、長方形のボックスと6点の規則正しい星に制限してみましょう。つまり、すべてのヒントとその隣の隅との間に30度（または）があります。星は、内側半径と外側半径によって特徴付けられ。$\frac{\pi}{6}$$r_i$$r_o$

^{[ ソース ]}

我々は六角形有することに留意されたいとhexagramsため。これらを極端なもの（Cookieの場合）と見なし、その間の範囲、つまり。$r_i = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot r_o$$r_i = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot r_o$$\frac{r_i}{r_0} \in \Bigl[\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr]$

私のcookieにはと不完全さを無視しています。$r_i \approx 17\mathrm{mm}$$r_o \approx 25\mathrm{mm}$

上記の特性を持つ星の最適なタイリングとは何ですか？静的な最適なタイリングがない場合、効率的に良いものを見つけるためのアルゴリズムはありますか？

ヘキサグラムの場合の質問に部分的に答えさせてください。

次のタイルを作成できます

$\hskip1.2in$

これにより、平面の12/14 = 6/7をカバーします（破線の四角形の三角形を数えます）。

これは最適ですか？そう思うでしょう。私は証拠を与えていませんが、いくつかの議論を提供します。先のとがったスパイクの間のスペース（三角形）をどの程度満たすことができるかを尋ねることができます。上記のタイルでは、その半分を埋めます。もっと良くできますか？

$\hskip20mm$

2つの六角形がこの空間と交差する可能性がありますが、それらはその領域のほとんどをカバーしません（証明なし）。交差する六角形が1つしかない場合、図に示すように、その先端が他の六角形の凹面の角に接触すると仮定します。これが当てはまらない場合は、交差する六角形をこのコーナーに移動することで改善できます（ここでも証拠はありません）。これらの仮定の下では、左右の接触がある場合に交差点が最大になることを確認するのは難しくありません。計算すると、交点の面積が等しいことがわかります

この関数のプロットは次のようになり、直感が正しかったことを示しています。

$\hskip30mm$

以下は、この恐らく予想外に複雑な問題に対する決定的または特定/優れた攻撃としてではなく、追加の科学的/理論的角度/一般的な研究として提供されていません。

第^1に、この一般的な領域は「箱詰め」として知られている/分類されており、これは2Dケースです。数学からの有名な証明がいくつかあります。たとえば、何世紀にもわたって未解決の問題であり、Halesによるコンピューター証明で「最近」解決されたケプラーによる球体パッキングの3Dケースです。業界で毎日使用されている2Dの例は、チップレイアウトの最適化です。明らかにこれは問題とは異なりますが、これらのタイプの問題の複雑さの一部を示すことができます。たとえば、2dの場合が3dの場合よりも単純であることを要求/示す理論はないようです。また、単純な長方形の境界は、必ずしも多角形の境界以外のソリューションを単純化するのに役立つとは限らないことにも注意してください。

グリッド上への配置など、問題ステートメントで「通常のタイリング」のある種の基本的な定義/スキームが与えられていれば、解析ソリューションが可能です。その場合、微積分方程式が導き出され、最適な検索可能です。

問題の条件は（直感に反するかもしれませんが）分析の最適な解決策にはならないようです。これは一部には驚くかもしれませんが、飛行機のタイリングの非常に類似した問題は決定不能であることが知られています（これは数年前に有名な結果であり、多くの参考文献や進行中の研究さえあります）。決定可能（解決可能/分析）問題と決定不能問題の主な違いは、タイルが「通常」かどうかです。上記の問題は「通常の星」に言及していますが、「通常のタイル」には言及していません。他の現在の答えは、一種の通常のタイリングまたは順序を想定していますが、「通常のタイリング」を定義することでさえ、正式/数学的に非常に注意が必要です。

これのような問題は一般的に遺伝的アルゴリズムに非常に従順です。このようなアルゴリズムは、大幅に改善される可能性が低い「非常に良い」パッキングを見つけることができ、おそらく非常に巧妙な方法によって最適性にいくつかの境界を置くことができます（つまり、最適の小さなエラーパーセント以内でなければなりません）最適です。

一般的に直接適用できる参照が見つかったのは次のとおりです。

• 遺伝的アルゴリズムの使用例。ポリゴン /ジェイコブスのパッキングのための遺伝的アルゴリズムについて

• 幾何学的パッキングおよびスケーリング問題のアルゴリズム Phd thesis / Michael Formann 1992、92p、sec 3.6星形のxモノトーンオブジェクトのスケーリングp30

• 任意形状のジオメトリックビンパッキングアルゴリズム / ARFATH PASHA 2003卒業論文87p

• このstackexchangeの質問も近いです。任意の境界内に任意のポリゴンを詰め込む。任意の境界用です

この特定の問題はおそらく研究されていませんが、そのような質問はラズロフェジェストスによって尋ねられており、梱包問題として知られています。Pach-Agarwal本の第3章を強くお勧めします。