最小カットから最大フローを計算する

最大フローの応答を計算することを知っています。容量のあるネットワークの最小カットは同等です。cf. 最大フロー最小カット定理。

最大フローを計算するためのアルゴリズム（多少効率的）があり、最大フローが与えられた場合の最小カットの計算も難しくも高価でもありません。

しかし、その逆はどうですか？最小カットが与えられた場合、最大フローをどのように決定できますか？もちろん、ゼロからMax-Flowを解決することなく、できればそれよりも高速です。

いくつかの考え：

• 最小カットから、最大流量値がわかります。この情報が標準パスのAugmenting-PathおよびPush-Relabelのアプローチにどのように役立つかはわかりませんが、後者の適応はやや理にかなっています。

• 最小カットを使用してネットワークを2つの部分に分割して再帰することはできません（最悪の場合（1つのパーティションがシングルトンの場合）、問題を縮小しないためです）。また、小さなインスタンスの最小カットもありません。

• 最大フロー速度の値を知っていると、おそらく補完的なスラックネス条件によって、Max-Flow LPを解くことができますか？

最悪の場合、最小カット自体は最大流量に関する多くの情報を伝えません。グラフで、最小s 、t -cutの値がwであるとします。重みwを持つ新しい頂点s 'とエッジ（s '、s ）を追加してGを拡張する場合、新しいグラフの最小s '、tカットはエッジ（s '、s ）のみで構成されます$G=(V,E)$$s,t$$w$$G$$s'$$(s',s)$$w$$s',t$$(s', s)$、取得方法に関する情報 sから tへのフローの w単位。$w$$s$$t$

事実上、最小カットはフローの価値を示しますが、そのフローを達成する方法はわかりません。これは、カットの値を見つけるためにバイナリ検索を行うことができるため、最小カットを知ることで、最大で対数係数だけフローを見つけることができることを意味します。

確かに、maxflowを計算する前に最小カットを計算できるアルゴリズムがあります。このような2つのアルゴリズムは、プッシュリラベルと密接に関連する疑似フローアルゴリズムです。後者の方が効率的です。これらのアルゴリズムは両方とも、最小カットからmaxflowを導出するために繰り返し改善される残差グラフの特別なプロパティを使用します。詳細については、コードと論文を読むことを強くお勧めします。

プッシュ再ラベルの場合について詳しく説明すると、アルゴリズムがそれ以上フローをシンクにプッシュできない場合、最小カットが計算されていることが保証されます。アルゴリズムのこの部分は、より良い名前がないためフェーズ1と呼ばれます。フェーズ2は、単一の深さの最初の検索を使用して残差グラフのサイクルを繰り返しキャンセルし、過剰をソースにプッシュすることにより、最小カットを最大フローに変換するより効率的なステージです。フェーズ2は、フェーズ1よりも無症状で効率的であることが証明できると思います。