チューリングマシンに物理的な類似性はありますか？

最近、CSクラスでチューリングマシンを紹介しました。

授業の後、テープとマシンの関係を理解し​​ようと2時間以上費やしました。

今日まで、コンピューターテープの存在や、テープとマシンがどのように相互作用しているかについてはまったく知りませんでした。マシンがテープを読み取る理由はまだわかりませんが、スキャナーはおそらくチューリングマシンに近い概念であり、紙はテープと見なされ、スキャナーの内部に入るものはチューリングマシンが行うものです。

しかし、いずれにせよ、チューリングマシンのアイデアは非常に古風ではありませんか？オフィスやリビングルームには、チューリングマシンの機能を果たしていると思われる物理的（仮想的ではなく）デバイスが数多くあります。

この仮想的な概念の本質的な機能が捕捉されるように、誰かが現実からより良い例を描くことができますか？

チューリングマシンは、計算および再帰的に定義された再帰関数と共に、「オリジナル」のチューリング完全な計算モデルの1つです。現在、理論的なコンピューターサイエンスの多くの分野で、実際のコンピューターに非常に近い別のモデルであるRAMマシンが使用されています。両方のモデルはp等価であるため（それらはせいぜい多項式ブローアップで互いにシミュレートします）、P対NPなどの質問の観点からは、両方のモデルは等価です。$\lambda$

AFAIK the Turing Machineは、ペンと紙を持つ人間のアイデアをモデルにしています。人間は脳内に特定の状態があり、機械がテープを見るように紙を見て、紙に何かを書いたり、機械がするように別の場所を見るように動きます。

TMはペアノ自然数算術として古風です。TMは実際の計算には役に立たず、もちろんそのために使用することを意図していません。計算を公理化するための簡単な方法であるため、計算可能なものとそうでないものについて推論することができます-ちょうど最初の原理から自然数とその性質を定義するのにPeano算術が有用であるように-しかし、それはばかげています理論的な定義に従って手作業でペアノ数を操作して算術を実行してみてください。

チューリングマシンの代わりにC ++プログラミング言語のセマンティクスを使用してそれらを証明する必要がある場合、複雑性および計算可能性理論とは異なる定理を証明すること（たとえば、停止問題が決定不能であることを証明する）がどれほど難しいかを考えてください。あなたの証明はばかげているか、不可能です-乗算とは何かの定義として小数の整数に適用される学年の方法を使用して自然数の乗算の結合性を証明するのと同じくらいばかげています。

多くの非常に異なるチューリング完全な計算モデルが物理的に実現可能です（無限を無制限を表すものと見なすまで）。したがって、それはモデルを選択するポイントにはなりません。

@jkffによる答えは、チューリングマシンが計算可能性と証明可能性を研究するための数学的な目的のための理論的なデバイスとして意図されていることに注目するのに適切です（ヒルベルトのEntscheidungsproblemのコンテキストで実際に発生します ）。しかし、単純な形式を選択する理由はまったく正確ではありません。

原理的に停止の問題を証明することは、より高度なモデルではそれほど難しくありません。実際、私たちの「証明」は多くの場合、単なるソリューションの構築にすぎません。これらの構造が正しいという実際の（非常に退屈な）議論にはあまり触れません。しかし、チューリング完全言語用のインタープリターを作成する人は、ユニバーサルマシンを作成するのと同じくらいのことをします。まあ、Cは少し複雑になる可能性があり、そのような目的のためにCを少し合理化したいかもしれません。

単純なモデルを持つことの重要性は、そのプロパティを確立する（@jkffで与えられた例を取り上げるような停止問題など）よりも、モデルを使用できることにあります。

通常、偉大な定理は非常に簡単に表現できる定理であり、広範囲の問題に適用できます。しかし、それらは必ずしも証明しやすい定理ではありません。

TMの場合、単純化の重要性は、Halting Problemまたは他のTM問題を関心のある問題（コンテキストフリー言語の曖昧さなど）に減らすことによって多くの結果が確立されるため、解決するための固有の制限が確立されるためですこれらの問題。

実際、非常に直感的ではありますが（これがおそらくその人気の主な理由です）、TMモデルは多くの場合、そのような証明で使用するには十分に単純ではありません。これが、ポストコレスポンデンス問題など、分析が直感的ではないが使いやすい他のいくつかの単純なモデルの重要性の1つの理由です。しかし、これは、これらの計算モデルがネガティブな結果を証明するためによく使用されるためです（元のEntscheidungsproblemに戻ります）。

ただし、特定の問題を解決するアルゴリズムの存在など、肯定的な結果を証明したい場合、TMは非常に単純すぎるデバイスです。RAMコンピューター、連想メモリーコンピューター、または他の多くのモデルの1つ、または単に多くのプログラミング言語の1つなど、モードの高度なモデルを検討する方がはるかに簡単です。

これらのモデルをTMモデル（通常は多項式）に縮小する複雑さを考えると、TMモデルは、特に複雑さ分析の参照点としてのみ使用されます。TMモデルの単純さは、複雑さの尺度に対する信頼性を高めます（対照的に、極端な例を挙げると、ラムダ計算の縮小）。

言い換えると、TMモデルは、アルゴリズムの設計と研究には単純すぎる（肯定的な結果）場合が多く、計算可能性の研究には複雑すぎる（否定的な結果）ことがよくあります。

しかし、それは すべてを接続するための中心的なリンクとして機能するのに適切な場所にあるようで、かなり直感的であるという大きな利点があります。

物理的な類推に関して、あるモデルを別のモデルよりも選択する理由はありません。多くのチューリング完全計算モデルは物理的に実現できます（メモリ無限大の限りない限り）。コンピューターとソフトウェアを「裸の」コンピューターほど物理的でないと考える理由はないからです。結局のところ、ソフトウェアには物理的な表現があり、それはプログラムされたコンピューターの一部です。したがって、すべての計算モデルはその観点から同等であるため、知識の編成に便利なものを選択することもできます。

ジオメトリを求める新人を想像してください：

三角形に物理的な類似性はありますか？

三角形のアイデアは非常に古風ではありませんか？私たちのオフィスやリビングルームには、三角形の機能を果たしていると思われる物理的な（仮想ではなく）形がたくさんあります。

あなたは何に答えますか？

これらの質問は、三角形に関する2つの基本的な誤解を明らかにすると言うかもしれません。

1. 「三角形は純粋に仮想的なものです。」 違う！それらは数学的実体であり、プラトンの理想であり、その意味での仮説ですが、三角形は現実のものです。現実世界で実際に構築することができます。確かに、構築するものが完全な三角形になることはありませんが、それらに関する数学的理論は実世界に適用され、導出できる法則は実世界の形状に適用され、理論は設計の基礎として使用できます。現実世界での形状の構築と測定。これが、理論がそもそも開発された理由です。
2. 「三角形は、私たちが通常使用する形状を記述していないため、役に立たない。」違う！現実の世界で見つけた実際の形状を記述することは、その目的ではありません。オフィスやリビングルーム全体に単一の三角形が含まれていない場合、それは三角形の概念が非現実的または時代遅れであることを意味するものではなく、他のものに置き換えた方がよいでしょう。それらの主な目的は、より複雑なすべての形状を原則として構築できる基本構造であり、したがって、一般に形状に適用される法則を導き出すことができます。三角形について推論することで、一般的な形状について推論することができます。あなたの居間は三角形のために私たちが導き出したのと同じ法律の対象となり、これらの法律に関する私たちの知識はそれを構築するために直接的または間接的に使用されました。リビングルームには、おそらく完璧な三角形はもちろん、単一の三角形はありませんが、三角形を見つけることは気にしません。私たちはできる。ただし、三角形で近似することにより、その中の形状の説明を作成します。これは、三角測量が一般的で便利なことです。したがって、三角形は、一般的な形状について考えるのに役立つ構成要素です。

同じことがチューリングマシンにも当てはまります。

幾何学を紹介してから長い時間が経ちましたが、三角形についてのこれらの誤解を実際に持っている人がいるかどうかは本当に思い出せません。しかし、チューリングマシンに関しては、常にこれらの誤解に遭遇します。実際、頻繁に、彼らが通常どのように教えられるかについて根本的に間違っているように思われます。おそらくショーアンドテルアプローチが適切です！

したがって、完全性のために：

1. 「チューリングマシンは純粋に仮想的なものです。」 違う！それらは数学的実体であり、プラトンの理想であり、その意味で仮説的ですが、チューリングマシンは現実のものです。実際の世界で実際に構築することができます。確かに、私たちが構築するものは完璧なチューリングマシンになることはありませんが、それらに関する数学的理論は実世界に適用され、導出できる法則は実世界の計算デバイスに適用され、理論は現実世界の計算デバイスの設計、構築、測定。これが、理論がそもそも開発された理由です。
2. 「チューリングマシンは、通常使用するコンピューティングデバイスを記述していないため、役に立ちません。」違う！現実の世界で見つけた実際の計算デバイスを記述することは、その目的ではありません。バックオフィスまたはホームエンターテインメントスタジオ全体に単一のチューリングマシンが含まれていない場合、チューリングマシンの概念が非現実的または時代遅れであり、他のものに置き換えた方がよいという意味ではありません。それらの主な目的は、より複雑なすべての計算デバイスを原理的に構築できる基本構造としてです。したがって、一般的に形状に適用される法則を導き出すことができます。チューリングマシンに関する推論により、一般的な計算デバイスについて推論することができます。お使いのコンピューターのハードウェアとソフトウェアは、チューリングマシン用に導出したものと同じ法律の対象となります。これらの法律に関する知識は、それらを構築するために直接的または間接的に使用されます。tには単一のチューリングマシンがあります。私たちが興味を持っている法律です。

チューリングが念頭に置いたと思われる物理的な類似性は、鉛筆、紙、消しゴムの問題を解決するコンピューターです。1936年には、「コンピューター」は計算に雇用されていたということを理解する必要があります。もちろん1936年には、ほとんどのコンピューターは追加マシンを使用していましたが、チューリングはそれらが不必要であるため言及していません。「計算可能な」数値（つまり、チューリングマシンが計算できる数値）には、自然に計算可能とみなされるすべての数値が含まれていることを正当化しようとする際に、テープに関して彼が言うことは次のとおりです。

コンピューティングは通常、紙に特定の記号を書くことで行われます。この論文は、子供の算数の本のように正方形に分割されていると思われます。初等算術では、紙の2次元文字が使用されることがあります。しかし、そのような使用は常に回避可能であり、紙の2次元の特性は計算に不可欠ではないことに同意すると思います。この場合、計算は1次元の紙、つまり正方形に分割されたテープで実行されると仮定します。

コンピューターはもはや取引ではありませんが、前回チェックしたとき、子供たちはまだ鉛筆と紙を記憶媒体として使用してアルゴリズムを実行するように教えられていました。そのため、この類推は時代遅れまたは古風に見えるかもしれませんが、まだ時代遅れではありません。

詳細については、entscheidungsproblemへのアプリケーションでの計算可能な数値について、特にセクション1と9を参照してください。

@jkffは、the Turing Machine is modeled on the idea of a human with a pen and paper完全に正しいとは限らないという考えを持っています。しかし、それが正しいと考えられる多くの状況があります。

状態の特定の投影の下で、人間をチューリングマシンと考えてください。つまり、勤務時間中にのみ人間を見ると、勤務時間中に特定のタスクを実行します。これらのタスクは、ジョブの基本タスクです。

彼の個人的な生活、彼が自宅で、彼の部屋で行うことなどを気にしない場合、これは彼の遷移関数を、仕事に関係のない状態が無視される新しい遷移関数に投影すると考えることができます。言い換えれば、懸念や観点とは関係のないすべての状態とタスクをスキップできます。

このモデルでは、チューリングマシンは、人間がペンを使ってモデル化され、紙は固定されたタスクを実行します（つまり、固定された視点で表示されます）。テープは、彼が紙に書き留めるものです（すべての紙を無視するか、タスクのために書いていない紙に書きます）

今、彼が行う他のタスクを考慮すると、あなたが持っているのは、人間の多くのチューリング機械の連合です。しかし、もし彼が彼の仕事を変えて、彼が異なる仕事をするならばどうでしょう。その後、異なる時間枠で異なる視点で見ると、彼の脳の状態は異なるチューリング機械に変わります。

あなたの質問に良い答えが欲しいなら、ユヴァル・フィルマスはそれをよく答えたと思います。RAMモデルを使用します。それにこだわります。