セットのセットが与えられると、各セットから少なくとも1つの要素を含む最小のセットを見つけます。

集合を考えるとセットの、私はセットを見つけるしたいMは、すべてセットするようなSにおけるSは、少なくとも一つの要素が含まMを。また、この基準を満たしながら、Mにできるだけ少ない要素を含めるようにしますが、このプロパティには複数の最小のMが存在する場合があります（ソリューションは必ずしも一意ではありません）。$\mathbf{S}$$M$$S$$\mathbf{S}$$M$$M$$M$

具体例として、セットが国旗のセットであり、Sの各フラグSの要素がその国旗で使用される色であると仮定します。米国はS = { r e d 、w h i t e 、b l u e }であり、モロッコはS = { r e d 、g r e e n }です。その後、$\mathbf{S}$$S$$\mathbf{S}$$S = \{red, white, blue\}$$S = \{red, green\}$$M$は、すべての国旗がの色の少なくとも1つを使用するプロパティを持つ色のセットです。（青、黒、赤、緑、黄、白のオリンピック色は、このようなMの例であり、少なくとも1920年にはそうでした。）$M$$M$

この問題の一般的な名前はありますか？セットを見つけるために受け入れられた「最良の」アルゴリズムはありますか？（計算の複雑さのためにプロセスを最適化するよりも、ソリューション自体に興味があります。）$M$

問題は、よく知られているNP完全問題Hitting Setです。Set-Coverと密接に関連しています。NP完全性の証明は、Garey and Johnsonの古典的な本にあります。

近似したい場合は、まずインスタンスをSet-Coverに変換してから、Set-Coverの近似アルゴリズムを適用します。ただし、LundおよびYannakakisが示すようにP = NPでない限り、Set-Coverは多項式時間の定数係数で近似できません。

正確なソリューションに興味があり、入力が適切に動作する場合は、固定パラメータの扱いやすいを使用することをお勧めします。ここでは、実行時間は入力長$n$だけでなく、追加のパラメーター$k$でも表されます。走行時間である場合は$O(f(k)\cdot n^{O(1)})$、我々は、FPT-アルゴリズムアルゴリズムを呼び出します。ここで、$f(k)$は増加関数です。したがって、$k$が一定の場合、ポリタイムアルゴリズムがあります。第一章ののFlumとグローエの本では、セットを打つためのFPTアルゴリズムについて説明しています（より正確には、$p$カードを打つセットについて）。このアルゴリズムは実装が簡単で、有界検索ツリーの方法を使用します。それでも、ここで説明するには多くのスペースが必要です。基本的に、必要な（？）総当たり攻撃を小さな断片に分割します（$k$が小さい場合）。

役立つアイデア：すべてのセットの交差点が空でない場合、交差点の任意の要素sを選択してM = { s }を設定できます。交差が空の場合、setsでの出現が最大である要素（色）cを見つけ、それが出現するすべてのセットをsingleton { c }で置き換えます。すべての要素の出現回数が等しくなるまで、これをやっておいてください1、その後、セットMを残りのセットの結合に。たとえば、Sが何らかのセットAのパワーセットである場合、M = $\mathbf S$$s$$M = \{s\}$$c$$\{c\}$$1$$M$$\mathbf S$$A$$M = A$。しかし、私は間違っているかもしれません。

レイライターの「第一原理からの診断の理論」をご覧ください。ここでは、ヒットセットを計算するためのアルゴリズムと、この追加ノート「修正」を提供しています。

このアルゴリズムは一般に「ヒットセットツリー」アルゴリズムとして知られていますが、実装を見つけるのはそれほど難しくないはずです。あなたはランタイムにあまり興味がなかったと言いましたが、早期ブランチ終了などの最適化は実装にとって非常に重要であり、同様に興味深いです:)

実際には、Set Cover / Hitting Setのインスタンスを解決するためのより良い方法の1つ（確実に最も簡単な方法の1つ）は、混合整数プログラミングです。これには、整数プログラミング定式化を選択したソルバーに伝えることが含まれます。