n個の文字列が与えられた場合、それらの1つは別の部分文字列ですか？

$n$文字列のコレクションが与えられたとし$S_1,\dots,S_n$。これらの文字列のいずれかがコレクション内の他の文字列の部分文字列であるかどうかを知りたいのですが。つまり、次のタスクのアルゴリズムが必要です。

入力：$S_1,\dots,S_n$

出力：$i,j$ような$S_i$の部分文字列である$S_j$と$i\ne j$、またはNoneがない場合は、このような$i,j$が存在

これのための効率的なアルゴリズムはありますか？

「部分文字列」を「接頭辞」で置き換える場合、効率的なアルゴリズムがあります（文字列を並べ替えてから、線形スキャンを実行して隣接する文字列を比較します。並べ替えにより、部分文字列が確実に隣接します）。しかし、文字列が他の文字列の部分文字列であるかどうかをテストすることは、より困難に思えます。単純なアルゴリズムは、すべてのペアを反復処理することですが、これにはΘ （n 2）サブストリングテストが必要です。より効率的なアルゴリズムはありますか？$i,j$$\Theta(n^2)$

これを「すべてのペアの部分文字列テスト」などと呼ぶことができると思います。

私の最終的な目標は、コレクション内の何かの部分文字列である各文字列を削除することにより、コレクションをプルーニングして文字列が他の文字列の部分文字列にならないようにすることです。

線形時間でサフィックスツリーを構築し、完全な文字列（ノードごとの一定時間）に対応する内部ノードがあるかどうかを確認できます。

より詳細には、我々は、文字列与えられていると仮定し。$s_1, \dots, s_n \in \Sigma^*$

1. （一般）構築接尾辞木のとnは異なる端末マーカーを対毎$ 1、... 、$ N ∉ Σ。$s_1\$_1, s_2\$_2, \dots, s_n\$_n$$n$$\$_1,\dots,\$_n \notin \Sigma$

   ウッコネンのアルゴリズムを使用すると、これは線形時間で実行できます。すべての文字列の長さの合計で線形。

2. 葉が接尾辞s i [ jを表す場合、葉にラベルを付けると仮定します。。| s i | ] of s iは、ツリーを走査して、（i 、0 ）というラベルが付いたn個の葉、つまり、完全な文字列に対応する葉を見つけます。$(i,j)$$s_i[j..|s_i|]$$s_i$$n$$(i,0)$

   これは、ツリーサイズで線形に時間がかかります。ツリー自体は入力サイズで線形です。

3. の親の子孫の葉（$ iとラベル付けされたエッジが到達する）は、セットからのすべての一致を表します。これは、接尾辞ツリーの基本的な不変式によるものです。葉に降順で一致するものを見つけます（ただし（i 、0 ））。$(i,0)$$\$_i$$(i,0)$

   これにも線形時間がかかります。

明確な端末マーカーは実際には必要ありません。リーフごとに複数のラベルを許可する限り、すべての文字列を終了するために使用される1つで十分です。