Lがコンテキストフリーである場合、FH（L）はコンテキストフリーである必要がありますか？

定義し。換言すれば、偶数長さの文字列の最初の半分の集合である。これを踏まえて、がコンテキストフリーである場合、はコンテキストフリーである必要がありますか？$FH(L) = \{x \in \Sigma^* : \exists y \in \Sigma^* \text{ with } |x| = |y| \text{ such that } xy \in L\}$$FH(L)$$L$$L$$FH(L)$

これが証明の私の試みです：

以来、 CFLで、非決定PDA認識が存在する、、入力アルファベットであり、スタックではアルファベット、はスタックの初期コンテンツを表すシンボルです。PDA構築からと、：、次のように定義されて$L$$L$$M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$$\Sigma$$\Gamma$$Z_0$$M'$$M$$M' = (Q', \Sigma, \Gamma, \delta', q_0', Z_0, F')$

$Q' = {q_0'} \cup (Q \times \Gamma_{\varepsilon}) \times (Q \times \Gamma_{\varepsilon}) \times (Q \times \Gamma_{\varepsilon})$。

$F' = \{[(q,X),(q,X),(p,Y)] : X,Y \in \Gamma_\varepsilon \text{ and } p \in F\}$

$\delta'(q'_0, \varepsilon, \varepsilon) = \{([(q,X), (q_0,Y), (q,X)], \varepsilon) : q \in Q \text{ and } X,Y \in \Gamma_\varepsilon \}$

$\delta'([(q,X),(p,Y),(r,Z)], a, \varepsilon) = \{([(q,X),\delta(p,a,Y), \delta(r,b,Z)], \varepsilon): X,Y,Z \in \Gamma_\varepsilon\ \text{ and } b \in \Sigma\}$

状態の最初のコンポーネントは、推測された状態を記録し、最初に記録されると変化しません。2番目の要素は、入力プレフィックスを処理した後の状態から始まり、されたプレフィックスを処理した後の状態を記録しますから始まります。$Q'$$q$$q_0$$y$$q$

スタックをどう処理するかについて少し混乱しているため、この証明が機能するかどうかはわかりません。$M'$

コメントで展開された直感は正しいです。答えは「いいえ」です。反例、前半がCFLではないCFLがあります。

$L = \{ a^m b^n c^n a^{3m} \mid m,n\ge 1 \}$、姉妹サイトの回答からのアルファベット。$\{a,b,c\}$

補題をポンピングすることによる証明： ; ポンピングすると、「」-または「前半」プロパティが破壊されます。$a^p b^p c^p \in \mathrm{FH}(L)$$b^n c^n$

その言語のわずかな適応は 、アルファベット介した。これで、前半のカッティングサイトのポイントを「強制」し、別の証明手法を取得できます。$K = \{ a^m b^n c^n \#\# a^{3m} \mid m,n\ge 1 \}$$\{a,b,c,\#\}$

レッツ。つまり、真ん中が2つの記号の間の点にある最初の半分のみを考慮することになります。したがって。、または。したがって、ます。ここで、がコンテキストフリーの場合、$H = FH(K) \cap a^*b^*c^*\#$$\#$$m+2n+1=1+3m$$m=n$$H=\{a^nb^nc^n \mid n\ge 1\}\#$$K$$H$コンテキストフリーです（通常の言語によるクロージャープロパティの共通部分を介して）。この言語は、標準の非コンテキストフリーの例に近い$\{a^nb^nc^n \mid n\ge 1\}$。これは、次の正しい商で取得できます。$\#$また、コンテキストフリーを維持します。