反転ペアのカウント

分割統治の古典的な用途は、次の問題を解決することです。

アレイ所与対：異なる、同等の要素をアレイ状に反転ペアの数をカウントし、ようにと。 $a[1\dots n]$ $(i,j)$ $a[i] \gt a[j]$ $i \lt j$

これに対する1つのアプローチは、マージソートを実行することですが、副問題の反転ペアの数もカウントします。マージステップ中に、2つのサブ問題にまたがる反転ペアの数をカウントし、サブ問題のカウントに追加します。

これは良いですが、時間アルゴリズムを提供しますが、これは配列を台無しにします。 $O(n\log n)$

我々は追加の制約がある場合は、アレイは、読み取り専用であることを、我々はコピーでコピーして取引をする、またはカウントを行うために、バイナリツリーをバランス順序統計のような追加のデータ構造を使用し、どちらも使用することができますスペース。 $\Theta(n)$

現在の問題は、実行時間に影響を与えずに、スペースを改善することです。すなわち

反転ペアの数をカウントする時間アルゴリズムはありますか。これは読み取り専用配列で機能し、サブリニア（つまり）スペースを使用しますか？ $O(n\log n)$ $o(n)$

均一コストのRAMモデルを想定し、要素はスペースを使用し、それらの間の比較はと仮定します。 $O(1)$ $O(1)$

参照はできますが、説明の方が良いでしょう:-)

ウェブを検索しようとしましたが、これに対する肯定的/否定的な答えが見つかりませんでした。これは単なる好奇心だと思います。

algorithms reference-request arrays

— アルヤバタ
ソース

ChanとPătraşcuは時間アルゴリズムを提供しますが、私が論文をざっと読んでわかる限りでは、スペースが必要です。

o (n \log n)

$o(n \log n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— ラファエル

さらに、Ajtai et al。（正確な）時間ストリーミングアルゴリズムがスペースを必要とすることを証明します。ただし、条件に合った近似値があるようです。

O (n)

$O(n)$

Ω (n)

$\Omega(n)$

— ラファエル

@ラファエル：ありがとう！回答がない場合は、これまでのコメントがベストアンサーになります。

— アリヤバタ

ところで、Ajtaiらの下限については少し混乱しています。定理8「は、任意のアルゴリズム」と言いますが、下の私にバインドされた単一パスの正確なストリーミングアルゴリズムに対してのようです、非常に制限されたモデル

— Sashoニコロフ

@SashoNikolov：彼らはモデルをストリーミングアルゴリズムにグローバルに設定していると思うので、 "any"はそれらに制限されます。私の帰結-正確な時間アルゴリズム-が正しいこと、つまり、線形時間アルゴリズムは常に多くのパスを持つストリーミングアルゴリズムとして表現できることを願っています。表示されます。

O (n)

$O(n)$

— ラファエル

ラファエルの答えは次のとおりです。

ChanとPătraşcuは時間アルゴリズムを提供しますが、紙をざっと読んでわかる限り、スペースが必要です。さらに、Ajtai et al。（正確な）時間ストリーミングアルゴリズムがスペースを必要とすることを証明します。ただし、条件に合った近似値があるようです。 $o(n\log n)$ $\Omega(n)$ $O(n)$ $\Omega(n)$

— Yuval Filmus
ソース

それを答えてくれてありがとう。しかし、もう少し時間を与えます。トラフィックは増加しているようです。

— アルヤバタ