TMがテープ上のある位置に到達するかどうかは決定可能ですか？

私が解決しようとしている古い試験からこれらの質問があります。各問題の入力は、チューリングマシンエンコードです$M$。

整数$c>1$、および次の3つの問題の場合：

1. 入力ごとに$x$、Mが渡さないのは本当ですか？x | + $|x|+c$上で実行されている位置$x$？

2. $x$$\max \{|x|-c,1 \}$$x$

3. それは、すべての入力のためにというのは本当である、Mが通過しない上で実行されている位置？（| x | + 1 ）/ c $x$$(|x|+1)/c$$x$

決定可能な問題はいくつありますか？

私の意見では、問題番号（1）はにあります。正しいと理解すれば、すべての入力を並行して実行でき、入力がこの位置に達していないことを示すために停止できますで私はの補数減らすことができ気圧をそれに。チューリングマシンを次のように構築します。入力に対して、が計算の履歴であるかどうかをチェックし、そうであれば、は正常に動作し、停止しません。そうでなければ停止します。R M ′ y y M $\text {coRE} \smallsetminus \text R$$\text R$$M'$$y$$y$$M'$

（3）については、では常にストライプの最初のセルにとどまるのはすべてのチューリングマシンであるため、1文字の文字列では最初のセルを渡すことができるため、決定可能であると信じています| Q | +1ステップの長さ1のすべての文字列をシミュレートする必要があり（これは正しいですか？）、すべての最初のセルのみを使用しているかどうかを確認します。$c \geqslant 2$$|Q|+1$

（2）の処理方法がわかりません。

所定の入力でチューリングマシンがテープの有限セクション（長さ）に限定されるかどうかを尋ねる状況はすべて決定可能です。$n$

引数は次のように機能します。チューリングマシン、テープ、およびテープ上のチューリングマシンの位置を考慮してください。これらはすべて、有限数の構成を持っています。具体的には、のみがあります可能な構成。 はテープシンボルのセットで、は状態のセットです。この回答の残りの部分では、「構成」という言葉を使用して、チューリングマシンの状態とテープの状態およびテープ上のその位置を組み合わせて説明しますが、これは標準の語彙ではありません。Γ $t = n|\Gamma|^n|Q|$$\Gamma$$Q$

マシンを実行し、過去のすべての構成を追跡します。ポイントを超える、「はい、は位置を渡します」を返します。それ以外の場合、マシンは0から間です。マシンが構成を繰り返す場合、その状態、テープ上のシンボル、およびテープ上のその位置は以前と同じである場合、「いいえ、は位置を渡さない」と返します。M n n M $n$$M$$n$$n$$M$$n$

ピジョンホールの原理により、これはステップ以下で発生する必要があります。したがって、上記のすべては決定可能です。最大でシミュレートされたステップの後、答えが得られます。t + $t+1$$t+1$

これがなぜ機能するかについての簡単なメモ：マシン、テープ、およびテープ上のその位置が繰り返される場合、これらの繰り返しの間に構成のシーケンスが存在している必要があります。このシーケンスが再び発生し、もう一度同じ構成になります。マシンは無限ループに陥ります。これは、チューリングマシンのあらゆる側面を追跡しているためです。構成以外では、何が起こったかに影響を与えることはできません。したがって、構成が繰り返されると、同じ一連の構成を間に挟んで再び繰り返されます。

したがって、テープを文字列の有限部分に限定することは決定可能です。したがって、可能なすべての入力文字列を反復処理することにより、3つの質問すべての問題がにあります。あなたはすでにこれに気付いているかもしれません（1と3のアイデアと2のRan Gの答えの間で、とにかく完全に解決されたようです）にもかかわらず、それでも投稿する価値があると思いました。$\text{coRE}$

（2）は（3）に非常に似ており、（3）の場合と同じ理由がここにも当てはまりますマシンには奇妙なプロパティがあることに注意してください。ビット。）そして、これはすべての入力に当てはまります。$L_2$$c$

さて、長さまでの入力のみを考えてみましょう。それらのそれぞれについて、2つのオプションしかありません。マシンループ/停止、ヘッドの移動なし、またはヘッドの移動です。（）の頭を動かすと、その入力ためにそのマシンはありません。それ以外の場合、マシンはにあると主張し。それは決して頭を動かさないので-入力のサイズが何なのか分かりません！これは、長さすべての入力に対して同じように動作することを意味し。したがって、は決定可能です。x | x | ≤ C L 2のx L 2 | x | > c L $c$$x$$|x|\le c$$L_2$$x$$L_2$$|x|>c$$L_2$