二部グラフの最大独立セット

私はバイパライトグラフの最大独立セットを見つけようとしています。

「1998年5月13日-ワシントン大学-CSE 521-ネットワークフローのアプリケーション」というメモで次のことがわかりました。

問題：

二部グラフ与えられると、可能な限り大きな独立集合を見つけます。ここで、およびです。セットの要素間にのエッジがない場合、セットは独立しています。$G = (U,V,E)$$U' \cup V'$$U' \subseteq U$$V' \subseteq V$$E$

解決：

頂点フローグラフを作成します。各エッジには、から までの無限の容量エッジがあります。各には、からまで単位容量エッジがあり、各には、から までの単位容量エッジがあります。$U \cup V \cup \{s,t\}$$(u,v) \in E$$u$$v$$u \in U$$s$$u$$v \in V$$v$$t$

有限容量カット検索と、と。レッツ と。セットは、カットを横切る無限の容量のエッジがないため、独立しています。カットのサイズは。これは、独立セットを可能な限り大きくするために、カットを可能な限り小さくします。$(S,T)$$s \in S$$t \in T$$U' = U \cap S$$V' = V \cap T$$U' \cup V'$$|U - U'| + |V - V'| = |U| + |V| - |U' \cup V'|$

これをグラフとして考えてみましょう。

A - B - C
    |
D - E - F

これを次のように2部グラフに分割できます $(U,V)=(\{A,C,E\},\{B,D,F\})$

ブルートフォース検索により、唯一の最大独立セットがことがわかります。上記の解決策を試してみましょう：$A,C,D,F$

したがって、構築されたフローネットワークの隣接行列は次のようになります。

$$\begin{matrix} & s & t & A & B & C & D & E & F \\ s & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ t & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ A & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ B & 0 & 1 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 \\ C & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & 0 & 0 & 0 \\ D & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ E & 1 & 0 & 0 & \infty & 0 & \infty & 0 & \infty \\ F & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & \infty & 0 \\ \end{matrix}$$

ここで私が立ち往生している、私が見る最小の有限容量カットは些細なものです：容量は3です。$(S,T) =(\{s\},\{t,A,B,C,D,E,F\})$

このカットを使用すると、次の誤ったソリューションにつながります。

$$U' = U \cap S = \{\}$$ $$V' = V \cap T = \{B,D,F\}$$ $$U' \cup V' = \{B,D,F\}$$

を期待していましたか？誰かが私の推論/作業で間違っている場所を見つけることができますか？$U' \cup V' = \{A,C,D,F\}$

最大の独立セットの補完は、最小の頂点カバーです。

2部グラフで最小の頂点カバーを見つけるには、ケーニッヒの定理を参照してください。

反例で示すように、与えられた解決策は明らかに間違っています。グラフU + Vは、無限容量のエッジによって接続されたコンポーネントであることに注意してください。したがって、すべての有効なカットには、A、B、C、D、E、Fのすべてを同じ側に含める必要があります。

ソリューションがどこから来たのかを さかのぼってみると、http： //www.cs.washington.edu/education/courses/cse521/01sp/flownotes.pdfは、Ahuja、Magnanti、Orlinによる問題のいくつかについてNetwork Flowsを引用しています。この本は著作権が切れており、http：//archive.org/details/networkflows00ahujからダウンロードできますが、この問題と解決策は含まれていないようです（「二部」の出現をすべて検索）。

ソリューションの説明段落では、作成するグラフの最小カットが最大独立セットに対応することを示していないことに注意してください。独立したセットを取得する方法のみを示しています。

それでも、アルゴリズムが何をしようとしているかを確認できます。以下は、s、tカットに関して実際の最大独立セットが対応するものです。

アルゴリズムを破る無限容量のエッジが強調されます。

アルゴリズムを意図したものに修正する方法がわかりません。無限のエッジのコストは、逆方向に進むとゼロになるはずです（つまり、SからTに行くが、t側からs側に交差する場合）。しかし、この非線形性で最小カット/最大フローを見つけるのはまだ簡単ですか？また、@ Jukka Suomelaのソリューションから質問のアルゴリズムへの橋渡しの方法を考えると、最大マッチングから最小頂点カバーまで行くのが難しいです：最大マッチングを見つけることはmax-flowによって行うことができます-likeアルゴリズム、flow-likeアルゴリズムを使用して最小頂点カバーをどのように回復しますか？ここで説明したように、最大一致が見つかった後、UとVの間のエッジは、最小の頂点カバーを見つけるようになります。したがって、これも、min-cut / max-flowの単純なアプリケーションがこの問題を解決するのに必要なすべてであることを示していません。

$S$$T$$S$

カットは、容量ではなく、実際のフローで行う必要があります。sからのフローは有限であるため、{S、T}カットは有限になります。残りは上記で説明されています。

$U$$V$

$G'$$\{A,C,D,F\}$