ランダムテストグラフアルゴリズムの入力を生成しますか？

アルゴリズムをテストする場合、一般的なアプローチはランダムテストです。ある分布（通常は均一）に従ってかなりの数の入力を生成し、それらに対してアルゴリズムを実行して、正当性を検証します。最新のテストフレームワークでは、いくつかの制限がありますが、アルゴリズムシグネチャを指定して自動的に入力を生成できます。

入力が数字、リスト、または文字列の場合、そのような入力を簡単に生成します。ツリーはより難しくなりますが、それでも簡単です（確率的な文脈自由文法または同様のアプローチを使用）。

ランダムグラフを（効率的に）生成するにはどうすればよいですか？通常、グラフをランダムに均一に選択することは、望むものではありません。それらは接続されているか、平面であるか、サイクルフリーであるか、他のプロパティを満たしている必要があります。拒否サンプリングは、潜在的に膨大な望ましくないグラフのセットのため、次善のようです。

注目すべき有用な分布は何ですか？ここで有用なのは

• グラフは手元のアルゴリズムを十分にテストする可能性が高く、
• 効果的かつ効率的に生成できます。

ランダムグラフには多くのモデルがあることを知っているので、この点でグラフ生成に最適な洞察に感謝します。

「あるアルゴリズム」が一般的すぎる場合は、テスト中のアルゴリズムの具体的なクラスとして、最短パス検索アルゴリズムを使用してください。テスト用のグラフは、接続されており、かなり高密度である必要があります（高い確率で、または少なくとも予想）。テストの場合、最適な解決策は、最短のパスの周りにランダムなグラフを作成して、目的の結果を知ることです（別のアルゴリズムを使用する必要はありません）。

スモールワールドトポロジのランダムグラフ

スモールワールドトポロジのグラフでは、ノードは高度にクラスター化されていますが、ノード間のパス長は短くなっています。このようなトポロジは、ローカルの決定が迅速にグローバルに伝播するため、検索の問題を非常に困難にする可能性があります。つまり、ショートカットはヒューリスティックを誤解させる可能性があります。さらに、多くの異なる検索問題には小さな世界のトポロジーがあることが示されています。

Watts and Strogatz [1]は、小さな世界グラフのモデルを提案しています。まず、通常のグラフから始めます。確率各エッジをランダムに再配線することにより、グラフに障害が導入されます。場合のp = 0、グラフは完全に規則的と命じています。場合P = 1、グラフが完全にランダムかつ不規則です。0 < p < 1の値は、完全に規則的でも完全に無秩序でもないグラフを生成します。グラフには、p = 0およびp = 1の小さな世界トポロジがありません。$p$$p=0$$p=1$$0 < p < 1$$p=0$$p=1$

WattsとStrogatzは、ノードとk個の最近傍のリング格子から始まります。ノードは、ラティスから一様にランダムに選択され、再配線されたエッジがそれに再接続されます。再配線によってエッジが複製される場合は、そのまま残されます。大きい、疎なグラフの彼らは、需要N » K » LN （N ）» 1、K » LN （nは）接続グラフ残るを保証します。$n$$k$$n \gg k \gg \ln(n) \gg 1$$k \gg \ln(n)$

WattsとStrogatzのモデルはある程度人気がありますが、いくつかの欠点があります。Walsh [2]は、モデルを使用して生成されたグラフのランダム化と再起動戦略の効果を調査します。Virtanen [3]の論文もあります。この論文は、複雑なシステムの現実的なモデリングの必要性に動機付けられた他のモデルをカバーしています。

ランダムな単純平面グラフ

$n$$n$$g_n$$g_n$$1 \leq n \leq 9$$1,2,8,64,1023,32071,1823707,163947848$$20402420291$$g_n$

$$g_n \sim g \cdot n^{-7/2} \gamma^n n!,$$ $g$$\gamma$$g \approx 0.42609$$\gamma \approx 27.22687$

$\rightarrow$$\rightarrow$$\rightarrow$$\rightarrow$

$n$$x^n$$x$

簡単な紹介については、Fusyによるプレゼンテーションを参照してください。

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[1] DJ WattsとSH Strogatz。「スモールワールド」ネットワークの集団ダイナミクス。ネイチャー、393：440から442、1998。

[2] トビー・ウォルシュ。小さな世界で検索します。第16回人工知能に関する国際共同会議（IJCAI-99-Vol2）、1172-1177、1999ページの議事録。

[3] Satu Virtanen。不均一なランダムグラフモデルのプロパティ。研究報告書A77、ヘルシンキ工科大学、理論計算機科学研究所、2003年。

[4] O.ギメネスとM.ノイ。平面グラフの漸近的な列挙と制限の法則、arXiv math.CO/0501269。拡張された要約は、Discrete Mathematics and The-oretical Computer Science AD（2005）、147-156に掲載されています。

[5] E.フュージー。二次平面グラフの線形タイム生成、離散数学と理論計算機科学AD（2005）、125から138まで。

[6] P. Duchon、P。Flajolet、G。Louchard、およびG. Schaeffer。組み合わせ構造のランダム生成のためのボルツマンサンプラー。組合せ論、確率とコンピューティング、13（4-5）：577から625、2004。