Floyd-Warshall、Dijkstra、Bellman-Fordアルゴリズムの違いは正しいですか？

私は3つを研究してきましたが、それらからの推測を​​以下に述べています。十分に正確に理解しているかどうかを誰かに教えてもらえますか？ありがとうございました。

1. ダイクストラアルゴリズムは、単一のソースがあり、あるノードから別のノードへの最小パスを知りたい場合にのみ使用されますが、このような場合は失敗します。

2. Floyd-Warshallアルゴリズムは、すべてのノードのいずれかがソースになる可能性がある場合に使用されるため、任意のソースノードから任意の宛先ノードに到達する最短距離が必要です。これは、負のサイクルがある場合にのみ失敗します。

3. ソースが1つしかない場合、Bellman-Fordはダイクストラのように使用されます。これは負の重みを処理でき、その動作は1つのソースを除き、Floyd-Warshallと同じですよね？（これは私が最も確信していないものです。）

ダイクストラのアルゴリズムは、単一のソースがあり、あるノードから別のノードへの最小パスを知りたい場合にのみ使用されますが、失敗します[負のエッジを持つグラフで]

ダイクストラのアルゴリズムは、単一ソースの最短パスまたはSSSPアルゴリズムの一例です。すべてのSSSPアルゴリズムは、選択されたソースノードからグラフ内の他のすべてのノードまでの最短パス距離を計算します。さらに、sから他のすべてのノードへのすべての最短パスのコンパクトな表現を、根付きツリーの形式で計算します。ウィキペディアのコードでは、このツリーのvの親です。$s$$s$previous[v]$v$

エッジが負のグラフでのダイクストラのアルゴリズムの動作は、議論中の正確なバリアントに依存します。Wikipediaのアルゴリズムのようなアルゴリズムのいくつかのバリアントは、常に迅速に実行されますが、ネガティブエッジがある場合に最短経路を正しく計算しません。これらの講義ノートのような他の変形は、常に最短経路を正しく計算します（ソースから到達可能な負のサイクルがない限り）が、負のエッジがある場合、最悪の場合指数関数的な時間が必要になる場合があります。

Floyd-Warshallのアルゴリズムは、すべてのノードのいずれかがソースになる場合に使用されるため、任意のソースノードから任意の宛先ノードに到達する最短距離が必要です。これは、負のサイクルがある場合にのみ失敗します。

そのとおりです。Floyd-Warshallは、すべてのペアの最短パスアルゴリズムの 1つの例です。つまり、ノードのすべてのペア間の最短パスを計算します。別の例は、「各ノードvについて、vをソースノードとしてダイクストラを実行する」です。他にもいくつかあります。

ソースが1つしかない場合、Bellman-Fordはダイクストラのように使用されます。これは負の重みを処理でき、その動作は1つのソースを除き、Floyd-Warshallの動作と同じですよね？

Bellman-Fordは、ダイクストラのような単一ソースの最短パスアルゴリズムの別の例です。Bellman-FordとFloyd-Warshallは類似しています（たとえば、両方とも動的プログラミングアルゴリズムです）が、Floyd-Warshallは「各ノードvに対して、vをソースノードとしてBellman-Fordを実行」と同じアルゴリズムではありません。特に、Floyd-Warshallは時間で実行されますが、Repeater -Bellman-FordはO （V 2 E ）時間（各ソース頂点のO （V E ）時間）で実行されます。$O(V^3)$$O(V^2E)$$O(VE)$

詳細については、お気に入りのアルゴリズムの教科書を参照してください。（あなたが行う必要がありますが、好きなアルゴリズムの教科書ではないのですか？）

3つのアルゴリズムはすべて、Jaehyun Park教授（スタンフォード大学）の講義スライドで説明されています。リンク最短パスアルゴリズム はここにあります

最短経路問題のWikipediaのページが SSSPとAPSP：二つの異なる問題について説明します。

単一ソース最短パス（SSSP）：

• ダイクストラのアルゴリズム：単一ソースの最短経路問題を解決します。
• • 制約：処理できない負のエッジのみ。
• • 重み付けされていないグラフ：ダイクストラはBFSと同じです。

• Bellman–Fordアルゴリズム：エッジの重みが負の場合、単一ソースの問題を解決します。これは、ダイクストラの改善であり、負の重みも処理できるようになりました。

すべてのペアの最短パス（APSP）：

• Floyd–Warshallアルゴリズム：すべてのペアの最短パスを解決します。正と負の両方のエッジを処理します。
• • 制約：負のサイクルを処理できません。

したがって、基礎となる方法論は同じ動的プログラミングですが、Floyd–WarshallはBFSと同じではありません。

おそらく、これは回答ではなくコメントである必要がありますが、他の回答では言及されていないこれらのアルゴリズムの違いです。

人々はフロイドのアルゴリズムをFloyd-Warshallと呼ぶ傾向がありますが、フロイドのアルゴリズムとウォーシャルのアルゴリズムは同じではありません。

Warshallの論文では、2進入射行列でFloydのアルゴリズムを使用している場合、あなたがしていることは行列の乗算であると述べています。したがって、実際にそのように実装できます。たとえば、ベクトル乗算を$O(1)$、あなたのアルゴリズムは $O(n^2)$。