計算不可能な関数は漸近的に大きくなりますか？

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忙しいビーバーの数と、計算可能な関数よりも漸近的に大きくなる方法について読みました。これはなぜですか？忙しいビーバー機能の計算不可能性のためですか？もしそうなら、計算不可能な関数はすべて計算可能な関数よりも漸近的に大きくなりますか？

編集：

以下の素晴らしい回答ですが、私が理解していることをわかりやすい英語で説明したいと思います。

ビジービーバー関数よりも速く成長する計算可能な関数fがある場合、これはビジービーバー関数がfによって制限されていることを意味します。つまり、チューリングマシンは、停止の問題を判断するためにf（n）の多くのステップを実行するだけで済みます。停止の問題は決定できないことがわかっているため、最初の前提は間違っています。したがって、ビジービーバー機能は、すべての計算可能な機能よりも速く成長します。

computability asymptotics

— ホロー7
ソース

あなたの「平易な英語」の部分について、あなたは答えからどこでそれを得ましたか？ビジービーバー機能の限界から、一般に停止問題を決定するにはどうすればよいですか？特定のチューリングマシンの停止を決定することは計算不可能ではないことに注意してください。

— ラファエル

@Raphaelの彼の簡単な英語の要約は私には正しいようですが、完全ではありません。欠落している詳細は、TM

が

停止するかどうかの決定を、TM

が空のテープで停止するかどうかの決定（

を

配線）に減らすことができることです。次に、

がBBの計算可能な境界である場合、OPで記述されたアルゴリズムは、任意の

および

停止問題を解決します。

M

$M$

x

$x$

M^{'}

$M'$

x

$x$

M^{'}

$M'$

f (n)

$f(n)$

M

$M$

x

$x$

— サショニコロフ

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あなたは自然数のいずれかのnoncomputableセットを取る場合は、セットの特性関数は値のみ取るとnoncomputableです。したがって、すべての計算不可能な関数が非常に急速に成長するわけではなく、制限することさえできます。 $\{0,1\}$

Busy Beaver関数は、そうするように構築されているため、すべての計算可能な関数よりも速く成長します。それが計算不可能な関数であることの証明は、計算可能な関数よりも速く成長することを最初に証明することから始まります。

より一般的には、セットと言うからすべての関数の計算場合は、「高度免疫フリー度」を持つ計算機能によって制限されます。確かに、すべての計算可能なセットには高度免疫がありません。また、高度免疫がない程度の多くの計算不可能なセットがあることが知られています。そのため、計算不可能なすべてが何らかの急成長関数を計算する必要があるわけではありません。 $A \subseteq \mathbb{N}$ $A$

ただし、計算不可能な再設定には高度免疫がない程度もありません。場合再で、インデックスによって列挙、関数ように場合列挙しでステップ、およびならば列挙しない、から計算可能であり、が、これ関数は、が計算可能な場合にのみ計算可能な関数によって制限されます。 $B$ $e$ $f$ $f(n) = k$ $e$ $n$ $k$ $f(n) = 0$ $e$ $n$ $B$ $B$

— カール・ムンメルト
ソース

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関数の場合は速い（又は遅い）セット内の任意の関数より大きくなるである機能の、（又は）すべての関数の、次いで明確。これは、ビジービーバー機能が計算可能でないことを示すために使用されるものです。別の例は、-計算可能および合計- アッカーマン関数が原始再帰的ではないという証明です。 $f$ $F$ $f \in \omega(g)$ $o(g)$ $g \in F$ $f \notin F$

$\{0,1\}$ $O(1)$

機能のセットは確かであるランタイムの両方、すなわち、されているものに必要かつ十分なメンバーシップ基準である特徴のようなランタイムによって、

$\qquad \displaystyle \mathrm{Poly} = \{f : \mathbb{N} \to \mathbb{N} \mid \exists k.\, f \in O(n^k)\}$

それは限られた意味しかありません。HP関数のパラメーターは、チューリングマシンのエンコードと自然数です。そのサイズは、停止を決定することの複雑さの尺度ではありません。

— ラファエル
ソース