Software Foundationsによるbaz_num_elts演習

私はSoftware Foundationsで次の演習に参加しています。

(** **** Exercise: 2 stars (baz_num_elts) *)
(** Consider the following inductive definition: *)

Inductive baz : Type :=
   | x : baz -> baz
   | y : baz -> bool -> baz.

(** How _many_ elements does the type [baz] have? 
(* FILL IN HERE *)
[] *)

私がインターネットで見たすべての答えは、答えは2であり、要素はxとyであると言っています。その場合、要素の意味がわかりません。確かに2つのコンストラクタがありますが、実際にタイプbazの値を作成することは不可能です。

これは、型の値を作成することは不可能ですbazので、x種類を持っていますbaz -> baz。yタイプがありbaz -> bool -> bazます。型の値を取得するためにbaz、我々は、型の値を渡す必要があるbazのいずれかにxかy。私たちは、型の値を取得することはできませんbazすでに型の値を持たずにbaz。

これまで、要素を値を意味するものとして解釈してきました。したがって(cons nat 1 nil)、(cons nat 1 (cons nat 2 nil))両方とも型list natの要素であり、型の要素は無限に存在しますlist nat。との2つのタイプの要素boolがtrueありfalseます。この解釈の下では、タイプの要素はゼロであると私は主張しbazます。

私は正しいですか、それとも誰かが私が誤解していることを説明できますか？

仰るとおりです。bazとの間には全単射がありFalseます。

Definition injective : forall {t1 t2}, (t1 -> t2) -> Prop := fun t1 t2 f1 => forall x1 x2, f1 x1 = f1 x2 -> x1 = x2.

Definition surjective : forall {t1 t2}, (t1 -> t2) -> Prop := fun t1 t2 f1 => forall x1, exists x2, f1 x2 = x1.

Definition bijective : forall {t1 t2}, (t1 -> t2) -> Prop := fun t1 t2 f1 => injective f1 /\ surjective f1.

Inductive baz : Type :=
   | x : baz -> baz
   | y : baz -> bool -> baz.

Theorem baz_False : baz -> False. Proof. induction 1; firstorder. Qed.

Goal exists f1 : baz -> False, bijective f1.
Proof.
exists baz_False. unfold bijective, injective, surjective. firstorder.
assert (H2 := baz_False x1). firstorder.
assert (H2 := x1). firstorder.
Qed.