自己参照なしで問題を停止する

停止問題では、特定の入力特定のチューリングマシン停止するかどうかを判断できるチューリングマシンあるかどうかに関心があります。通常、証明はそのようなが存在すると仮定して開始されます。次に、を自体に制限し、対角引数のインスタンスを使用して矛盾を導出する場合を考えます。私があるという約束が与えられた場合、証明はどのようになるのか興味があります。どのような約束について、機能的に同等である？ $T$ $M$ $i$ $T$ $i$ $M$ $i \not = M$ $i \not = M^\prime$ $M^\prime$ $M$

computability undecidability halting-problem

— ベルピース
ソース

ヒント：

がそれ自体またはそれと同等の

についての質問に正しく答える必要がない場合でも、同等の

をフィードして、それが何をするかを確認できます。それはかどうかを計算可能ではないので

と等価である

、

自身と同等のものを持って、それを伝えることができなくなります。

M

$M$

M^{'}

$M'$

M^{'}

$M'$

M^{'}

$M'$

M

$M$

M

$M$

— Andrej Bauer 14

@AndrejBauerこれはあなたが私に与えた単なるヒントでした。私はこのヒントを使用して実際の問題を解決する必要がありますか？私はあなたが私の設定では、私がすることを約束していた場合、「必要がない」と言って問題を緩和するのでビットは、混乱しています

同等で供給されることはありません

。基本的に、問題を決定不可能にするあらゆる種類の「自己参照」であることを私は見たいと思います。これは論理と不完全さについて話すときにそうであると考えられました。

M

$M$

M^{'}

$M^\prime$

— ベルピース2014

あなたは約束を破って、好きなように

を養うことができます。とにかく、約束を破ったとは言えません。あなたはのは、不正行為と思われる場合は、その後、私が養うよ

と等価ではありません、物事

、彼らが似ているので、

が、すべての入力とだけシフト

、またはそのようないくつかを。

M

$M$

M

$M$

M

$M$

M

$M$

1

$1$

— Andrej Bauer

実際、あなたの質問は十分に定式化されていません。念頭に置いている実際の証明を概説し、回避したいものを正確に指定する必要があります。私はあなたが意味はないと思う

が、何か他のもの。

i \neq M

$i \neq M$

— Andrej Bauer 14

回答:

HALTSが入力をとペアとして読み取るTMであるとします。ここで、はTMエンコーディングであり、はそのTMへの任意の入力です。 $M$ $x$ $M$ $x$

我々はHALTSは、すべての入力のための停止問題を解決仮定した場合に何が起こるならばあなたの質問はありように機能的に同等であるTMのエンコーディングではありません。 $\langle M,x \rangle$ $x$ $M$

これは矛盾を意味すると主張します。私はその場でこれを思いついたので、私は自分の証明に対するあらゆる批判を歓迎します。証明の考え方は、それ自体を対角化するのではなく、2つの相互に再帰的なTMを作成し、一部の入力では動作が異なる（したがって、機能的に同等ではない）ことですが、それ以外の場合は矛盾を引き起こします。

とを2つの相互に再帰的なTM としましょう（つまり、のプログラム内でのの記述をシミュレーション、印刷などできます）。再帰定理から相互に再帰的なTMを作成できることに注意してください。 $D_1$ $D_2$ $D_2$ $D_1$

定義および次のように入力上、もし（10は任意に選択）、は受け入れ、ループします。（したがって、それらは機能的に同等ではありません）。 $D_1$ $D_2$ $x$ $|x| < 10$ $D_1$ $D_2$

入力を指定、定義にHALTSをシミュレートするためにと停止場合停止またはループもしループ。 $x$ $|x| \ge 10$ $D_1$ $\langle D_2, x \rangle$ $D_2$ $D_2$

入力を指定、定義にHALTSをシミュレートするためにループなら停止または停止する場合ループ。 $x$ $|x| \ge 10$ $D_2$ $\langle D_1, x \rangle$ $D_1$ $D_1$

次に、付きのがあることに注意してください、（x）の停止またはループのいずれか。が入力xで停止した場合、HALTS（、x）がが入力xで停止したと判断したことがわかります。ただし、入力x で停止するということは、HALTS（、x）がループすることを意味します。 $x$ $|x| \ge 10$ $D_1$ $D_1$ $D_2$ $D_2$ $D_2$ $D_1$

場合入力上ループ、矛盾が同様に続きます。 $D_1$ $x$

これは、が機能的にまたはと同等のチューリングマシンのエンコーディングでない限り矛盾します。その場合、HALTSは未定義の動作をします。ただし、はより大きいサイズのすべての文字列から任意に選択されました。したがって、およびとは異なる動作をする、10を超えるサイズのエンコーディングを備えたチューリングマシンが存在することを示す必要があります。そのような機械は簡単に構築できます。QED。 $x$ $D_1$ $D_2$ $x$ $10$ $D_1$ $D_2$

考え？

— カート・ミューラー
ソース

と

が機能的に同等でないことを確認する必要があるのはなぜですか？

D_{1}

$D_1$

D_{2}

$D_2$

— ベルピース2014

これは必要ないというのは正しいと思います。私の当初の目的は、停止（上で対角化することであった

）

⟨ D_{1}, D_{2} ⟩

$\langle D_1, D_2 \rangle$

— クルトミューラー

それがなければ、証明はよりエレガントになりますが、とにかくそれは私にはよく見え、まさに私が必要としていたものです。

— ベルピース2014

$M'$ $M'$ $M$ $M$ $M'$ $M$

$\langle\,M\,\rangle$ $M$ $H$

$H(\langle\,M\,\rangle, x)$ $x$ $H$ $x$ $H$
$H(\langle\,M\,\rangle, x)$ $M(x)$

$Q$

Q(x)=
  if H(<Q>, x) = false
    return true
  else
    loop forever

$Q$ $H$ $x=\langle\,Q\,\rangle$ $Q(\langle\,Q\,\rangle)$ $H$

— リック・デッカー
ソース

i

$i$

M

$M$

あなたがそのような約束を与えられているとしましょう。計算できないことは知っています。OPを更新しました。

— ベルピース2014

@bellpeace：

$\:$ それをどのように定義しますか？

$\;\;\;\;$

(M, i)

$(M, i)$

i

$i$

M

$M$

1

$1$

M

$M$

i

$i$

0

$0$

M

$M$

M^{'}

$M^\prime$