トフォリ門の普遍性

量子トフォリゲートについて：

1. それは古典的に普遍的ですか？そうであれば、なぜですか？
2. それは量子的に普遍的であり、なぜですか？

Toffoliは、（@ Victorが示すように）古典的な計算に普遍的です。ただし、Toffoliは量子計算に普遍的ではありません（ようなおかしなものがない限り）。$P = BQP$

（通常の定義で）量子計算に普遍的であるためには、ゲートによって生成されるグループはユニタリで密である必要があります。言い換えれば、任意の与えられたユニタリとターゲットUを一元取得することができ、量子ゲートの有限数を適用するいくつかの方法がありU "は、このような| | U − U ′ | | < ϵ。$\epsilon$$U$$U'$$||U - U'|| < \epsilon$

Toffoli自体は、基底状態を常に基底状態にするため、この定義では明らかに普遍的ではありません例えば。つまり、重ね合わせを作成できません。$|0\rangle \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

あなたが引用したウィキペディアの記事から：

トフォリ門は普遍的です。これは、任意のブール関数f（x1、x2、...、xm）に対して、x1、x2、...、xmと0または1に設定されたいくつかの追加ビットを取り、出力するToffoliゲートで構成される回路があることを意味しますx1、x2、...、xm、f（x1、x2、...、xm）、および余分なビット（ガベージと呼ばれる）。基本的に、これは、Toffoliゲートを使用して、必要なブール関数計算を可逆的に実行するシステムを構築できることを意味します。

これは、単純な用語では、ブール関数はToffoliゲートでのみ構築できることを意味します。

ブール関数は通常、OR、AND、およびNOTゲートから構成され、これらを組み合わせて任意のブール関数を形成できます。同じことがNORゲートまたはNANDゲートでのみ可能であることは広く知られています。

Toffoliゲートは次のように要約できます。

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \begin{cases} (a, b, ¬c) & \mbox{when }a=b=1 \\ (a, b, c) & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

最初と2番目の出力は常に最初と2番目の入力に等しいので、それらを無視することができます。だから私たちは持っています：

$\rm{Toffoli}'(a, b, c) = \begin{cases} ¬c & \mbox{when }a=b=1 \\ c & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

それにより、NANDゲートを次のように定義できます。

$\operatorname{NAND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 1)$

NANDゲートは汎用であり、NANDゲートはToffoliゲートとして定義される可能性があるため、Toffoliゲートは汎用です。

ANDゲートとNOTゲートを直接構築することにより、Toffoliが普遍的であることを証明する別の方法があります。

$\operatorname{NOT}(x) = \rm{Toffoli}'(1, 1, x)$

$\operatorname{AND}(a, b) = \rm{Toffoli}'(a, b, 0)$

次に、De Morganの法則を使用してORゲートを構築します。

$\operatorname{OR}(a, b) = \operatorname{NOT}(\operatorname{AND}(\operatorname{NOT}(a), \operatorname{NOT}(b)) = \rm{Toffoli}'(1, 1, \rm{Toffoli}'(\rm{Toffoli}'(1, 1, a), \rm{Toffoli}'(1, 1, b), 0))$

編集、質問が編集され、スコープが変更されたため：

まず、量子コンピューティングが理解できないので、何か問題がある場合はコメントを追加してください。私はこの答えを完全にするために少し研究をし、これで終わりました：

Toffoliゲートはリバーシブルです（ただし、上記で使用したToffoli 'はリバーシブルではありません）。これは、それを使って行った計算を元に戻すことができることを意味します。これは：

$(a, b, c) = \rm{Toffoli}(\rm{Toffoli}(a, b, c))$

つまり、任意のトリプル（a、b、c）でToffoliが2回適用されると、元の入力が出力として取得されます。

量子ゲートは可逆的でなければならないため、可逆性が重要です。そのため、（古典的な）トフォリゲートを量子ゲートとして使用できます。

ここに示されているように、ドイツのゲートはトフォリのゲートと同様の方法で定義されていますが、古典的なゲートではなく、量的なゲートです：

$\operatorname{Deutsch}(a, b, c) = |a,b,c\rangle \mapsto \begin{cases} i \cos(\theta) |a,b,c\rangle + \sin(\theta) |a,b,1-c\rangle & \mbox{for }a=b=1 \\ |a,b,c\rangle & \mbox{otherwise.}\end{cases}$

このように、トッフォリ門はドイツ門の特定のケースです。

$\rm{Toffoli}(a, b, c) = \operatorname{Deutsch}(\frac{\pi}{2})(a, b, c)$

$\frac{\pi}{2}$

ToffoliゲートとHadamardゲートを組み合わせると、普遍的な量子Tgateセットを取得できます。これはまさにドイツのゲートが行うことです。

興味深いの参照は見つけることができるここでは、こことここ。Deutschトランスフォームの基礎を示す貴重な参考資料はここにありますが、リンクはパスワードで保護されています。