ライスの定理が当惑

要約：ライスの定理によれば、すべては不可能です。それでも、私はこの不可能と思われることを常にやっています！

もちろん、ライスの定理は単に「すべては不可能」とは言いません。「コンピュータープログラムのすべての特性は計算不可能です。」

（ヘアを分割したい場合は、すべての「重要な」プロパティ。つまり、すべてのプログラムが所有する、またはプログラムが所有しないプロパティは、簡単に計算できます。しかし、他のプロパティは計算できません。）

それは定理が言うこと、または言うように見えます。そして、おそらく非常に多くの非常に賢い人々がこの定理の正しさを慎重に検証したでしょう。しかし、ロジックを完全に無視しているようです！計算するのは簡単なプログラムの多くのプロパティがあります!! 例えば：

• 停止する前にプログラムは何ステップ実行しますか？この数が有限であるか無限であるかを決定することは、計算できないホールティング問題です。この数が有限のより大きいか小さいかを判断するのは簡単です！プログラムを最大ステップ実行し、停止するかどうかを確認します。簡単！$n$$n$

• 同様に、プログラムは最初の回実行ステップでユニットより多いまたは少ないメモリを使用しますか？簡単に計算できます。$n$$m$

• プログラムのテキストはという名前の変数に言及していますか？些細なテキスト分析で答えが明らかになります。$k$

• プログラムはコマンド呼び出しますか？再度、そのコマンド名を探してプログラムテキストをスキャンします。$\sigma$

計算できないように見えるプロパティもたくさんあります。たとえば、プログラムの完全な実行は何回追加されますか？まあ、それはプログラムが実行するステップ数を尋ねることとほぼ同じです。これは実質的に停止の問題です。しかし、非常に簡単に計算できるプログラムプロパティが大量にあるようです。それでも、ライスの定理は、それらのいずれも計算可能ではないと主張します。

ここに何が欠けていますか？

この説明の目的上、「プログラム」とは、常に入力として整数を取り、永久に実行するか整数を返すコードのことです。2つのプログラムとは、同じ関数を計算する場合、つまり、すべての数値について、と両方が永久に実行されるか、両方が同じ数値を終了して出力する場合、拡張的に等しいと言います。g n f （n ）g （n $f$$g$$n$$f(n)$$g(n)$

プログラムの拡張プロパティは、拡張平等を尊重するプロパティです。つまり、とが拡張的に等しい場合、両方ともプロパティ持っているか、両方とも持っていません。f g $P$$f$$g$$P$

非拡張プロパティの例を次に示します。

1. プログラムはステップ以内に停止します。（プログラムを、より長く実行される拡張的に等しいものにいつでも変更できます。）$n$
2. プログラムは、実行の最初のステップ内で未満のメモリセルを使用します。（プログラムを拡張的に等しいものにいつでも変更できるので、正当な理由でメモリを使い果たすことはありません。）$n$$m$
3. プログラムのテキストには、という名前の変数が記載されていますk。（変数の名前を変更できます。）
4. コマンド呼び出しプログラムい。これは少し依存するかもしれませんが、何らかの方法でシミュレートできるものであれば、を回避し、元のプログラムと拡張的に等しいプログラムを保持できます。σ $\sigma$$\sigma$$\sigma$

ライスの定理に対する反論の申し立てを正確にリストしたことに気づいたと思います。

定理（ライス）：プログラムの計算可能な拡張特性は、すべてのプログラムを保持するか、まったく保持しないかのいずれかです。

これを説明する別の方法があります：プログラムとそれが計算する関数を区別する必要があります。多くの異なるプログラムが同じ関数を計算します（それらはすべて拡張的に等しいです）。ライスの定理は、関数を計算するプログラムのプロパティではなく、関数のプロパティに関するものです。

基本的な誤解：

コンピュータープログラムのすべてのプロパティは計算不可能です。

それはライスの定理が述べていることではありません。関数のプロパティと、この関数を計算するプログラムのセットが決定できないことについて説明しています。正式には、セットが与えられます$\emptyset \subset P \subset \mathsf{RE}$

$\qquad \displaystyle \{ \langle M \rangle \mid f_M \in P \}$

決定できません。あなたが言及するプロパティについては、プログラムのセットがこの形式を持っている適切なを見つけることができません。1つの機能の一部のプログラムにはプロパティがありますが、他の（同じ機能の）プログラムにはない場合があります。参照してください。ここにいくつかの例のために。$P$

ライスの定理は、セマンティックプロパティ（プログラムによって計算される関数のプロパティ、たとえばドメインや値の範囲）を扱います。参照するのは構文プロパティ（実行時や使用する変数の数など、プログラムのプロパティ）です。

構文特性についてはあまり知られていないようです。この質問を参照してください。