自然数のセットの最大ペアワイズGCDを効率的に見つける

次の問題を検討してください。

ましょは自然数の有限サブセットです。$S = \{ s_1, s_2, ... s_n \}$

ましょうgでのCのD （sはI、S J） | sのiが、S J ∈ S 、S I ≠ S J } 、G 、C 、D （X 、Yは）の最大公約数であり、X及び$G = \{$ $gcd(s_i, s_j)$$s_i, s_j \in S,$ $s_i \neq s_j \}$$gcd(x,y)$$x$$y$

の最大要素を求めます。$G$

この問題は、ユークリッドのアルゴリズムを使用して各ペアの最大公約数を取り、最大のものを追跡することで解決できます。

これを解決するより効率的な方法はありますか？

これは効率的なアルゴリズムです（Pythonで）。以下の説明をご覧ください。

def max_gcd_pair(S):
    # Assumption 1: S is the list of numbers
    # Assumption 2: There are no duplicates in S

    s = set(S)
    m = max(S)

    res = 0
    i = m

    while(i > 0):
        a = i
        cnt = 0
        while (a<=m): # a maxed at max of the list
            if a in s:   
               cnt += 1
            a += i

        if cnt >= 2:  # we have found the result
            res = i
            break

        i = i -1 

    return res

上記のコードスニペットの説明：

この問題では、次のことが観察されます。

1. 結果は次を超えることはできません max(S)
2. 結果は数値で、このリストに2つ以上の倍数があります S
3. 実際には、結果はmax上記のプロパティを持つそのようなすべての数値です。

これらの観察により、プログラムは次のことを行います。

1. 作成しsetたリストのを。セットは効率的に検索できるのでO(log(n))
2. リストの最大値を見つけて変数に格納しますm。
3. スタートmまで1、セット内の2つのまたはそれ以上の倍数を持っている最初の番号を見つけます。最初に見つかったそのような数は結果です。

これが明確であることを願っています。さらに詳しい説明が必要な場合はお知らせください。