再発関係の解決 'Chip＆Conquer'

私はいくつかの反復関係の解決を任されており、いわゆる「チップと征服」関係で問題に直面しています。

問題の例をいくつか示します。

$$T(n) = T(n-5) + cn^2$$

そして

$$T(n) = T(n-2) + \log{n}$$

私は答えを出すことになっています $\Theta$表記。このような関係を回避して解決するにはどうすればよいですか？

簡単にするために、 $5$ 割る $n$ そしてそれ $n/2=n-5k$ 整数の場合 $k>0$。

$$\begin{align*} T(n) &= T(n-5) + cn^2 \\ T(n) &= cn^2 + c(n - 5)^2 + c(n - 10)^2 + c(n - 15)^2 + ... + c5^2 + c0^2 \\ &= c(n^2 + (n - 5)^2 + (n - 10)^2 + (n - 15)^2 + ... + 5^2 + 0^2) \\ &\ge c(n^2 + (n - 5)^2 + (n - 10)^2 + (n / 2)^2) \ge c(n / 2)(1 / 5)(n / 2)^2) \\ &= cn^3 / 40 = (c / 40)n^3 \\ &= \Omega(n^3) \\ T(n) &= cn^2 + c(n - 5)^2 + c(n - 10)^2 + c(n - 15)^2 + ... + c5^2 + c0^2 \\ &\le c(n / 5)n^2 \le cn^3 \\ &= O(n^3) \\ \end{align*}$$

私たちはそれを結論付けます $T(n) = \Theta(n^3)$。

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簡単にするために、 $n/2 = n-2k$ 整数の場合 $k>1$。

$$\begin{align*} T(n) &= T(n-2) + \log n = \log n + \log(n - 2) + \log(n - 4) + ... + \log(4) \\ &\ge \log n + \log(n - 2) + \log(n - 4) + ... + \log(n / 2) \ge (n / 2)log(n / 2) \\ &= \Omega(n \log n) \\ T(n) &= T(n-2) + \log n = \log n + \log(n - 2) + \log(n - 4) + ... + \log(4) \\ &\le (n / 2) \log n \\ &= O(n \log n) \\ \end{align*}$$

We conclude that $T(n)=\Theta(n \log n)$.

Expand the recurrence and sum it up.

Example 1:

$$\begin{align*} T(n) &= T(n-5) + O(n^2) = T(n-10) + O(n^2) = \dots \\ &= T(0) + \{\text{\(n/5\) terms, each \(O(n^2)\)}\} \end{align*}$$

Now let's say $T(0) = c$. This would be generally given in the question.

so this would sum to $(n/5).O(n^2) = O(n^3)$

例2：

$$\begin{align*} T(n) &= T(n-2)+\log n = T(n-4)+\log(n-2) + \log(n) = \dots \\ &= T(0) + \log(n-2^k) + \dots + log(n) = c + \log(n-2^k) + \dots + \log(n-2) + \log(n) \\ &= c + n \log(n) \end{align*}$$