アルゴリズムへの入力としての

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代数をアルゴリズムへの入力として与えることの意味を特定したいのですが、それに関する文献はほとんど見つかりませんでした。したがって、まず、フィールド上の代数の複雑性分析のトピックを扱い、決定問題を明確に定義する本または紙を推薦できるかどうかを尋ねたいと思います。

少し掘り下げた後、私は何かを見つけ、それをここで共有したいと思います。さらに、定義が意味があり、文献に準拠しているかどうかを確認します（ある場合）。

定義：レッツフィールドであると有限生成可換も添加剤を基礎と-代数。私たちは今、代数の乗法構造を捉えるため、すべての基本要素の線形結合として基本要素のすべての製品を書きたい： $\mathbb F$ $A$ $\mathbb F$ $b_1,\ldots, b_n\in\mathbb F$ と呼ばれる構造係数。私たちはそれを直接持っています：これで、次の決定問題を定義できます：同型を指定するには、すべてのを基底の要素の線形結合として書き込むだけで十分です。
$\forall 1 \leq i, j, k \leq n : \exists a_{i j k} : b_{i} b_{j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i j k} b_{k} .$ $\forall 1\leq i, j, k\leq n: \exists a_{ijk}: b_ib_j=\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k.$ $a_{ijk}$ $A ≅ F [b_{1}, \dots, b_{n}] / {⟨ b_{i} b_{j} - \sum_{k = 1}^{n} a_{i j k} b_{k} ⟩}_{1 \leq i, j \leq n} .$ $A \cong \left.\mathbb{F}[b_1, \ldots, b_n] \middle/ \left<b_i b_j-\sum_{k=1}^n a_{ijk}b_k\right>_{1\leq i,j\leq n}\right..$ ${(A, B) ∣ A, B commutative F -algebras with basis b_{1}, \dots b_{n} and A ≅ B} .$ $\{(A,B)\mid A, B \text{ commutative $\mathbb F$-algebras with basis $b_1, \ldots b_n$ and } A\cong B\}.$ $\phi:A\rightarrow B$ $\phi(b_i)$ $B$

この定義に何か奇妙に思われるものはありますか？それで作業できると思いますか？

動機：これの背後にある私の動機は、最初に決定問題を非常に明確に定義して、それを他の問題、つまり多項式の等価性を決定する問題に接続することです：2つの多項式、我々は言うある同等の可逆線形変換が存在する場合変数にし、その結果。つまり、すべての変数をすべての変数の線形結合で置き換えて他の多項式を取得できる場合、2つの多項式は同等です。 $f,g\in\mathbb F[x_1, \ldots, x_n]$ $f$ $g$ $\tau$ $f(\tau(x_1), \ldots, \tau(x_n))=g(x_1, \ldots, x_n)$

これが動機として役立つかどうかはわかりませんが、この問題の関係は、多項式が等価である場合に限り、同型である2つの多項式から有限生成された可換代数を構築することによって確立されます。このため、私は決定問題が非常に明確に定義されていることを確認したかったのです。 $\mathbb F$

computability terminology decision-problem

— 生まれ
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mhumがリンクしているもの以外の参照を知っている人はいますか？

— 年

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これは、 -代数と立方体の等価性 $\mathbb{F}$ 、Agrawal＆Saxena（2006）のプレゼンテーションと一致しているようです。

— ムム
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数学的構造に対する計算可能性は、長く確立された研究分野です。たとえば、次を参照してください。

エドワードR.グリフォー、「コンピューティング理論のハンドブック」、1999
Leonidovich Ershov、「再帰数学のハンドブック：再帰代数、分析および組合せ論」、1998

またはグーグル：

計算可能代数
計算可能なモデル理論

— カヴェ
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