最大サブマトリックス合計

与えられた $n\times m$ マトリックス $A$整数の場合、合計が最大になる部分行列を見つけます。行または列が1つしかない場合、これは最大のサブ配列を見つけることと同じです。

1Dバージョンは、動的プログラミングによって線形時間で解決できます。2Dバージョンは$\cal O(n^3)$ すべての列のペアをループし、長さが行列の行数である配列に対して1Dアルゴリズムを使用して、各位置で $r$ 行の要素の合計を保持します $r$ 2つの列の間。

行列が次のように与えられた場合：

$$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & -1 \\ 5 & 43 & 31 & 78 \\ -45 & -12 & 19 & 9 \end{pmatrix}$$

次に、列のペアについて $(0,2)$、最大サブマトリックスの合計は、配列で1Dアルゴリズムを使用して見つけることができます（上から下）。

$$\begin{pmatrix} 1-2+0 & = & -1 \\ 5+43+31 & = & 79\\ -45-12+19 & = & -38 \end{pmatrix}$$ 誰か知っていますか $\cal O(n^2)$ この問題を解決するためのアルゴリズム？

私はこれを見つけました：Sung Eun Bae、一般化された最大サブアレイ問題の逐次および並列アルゴリズム。18〜30ページを読んでください。$O(nm^2)$この問題のサブキュービックアルゴリズム（一般的な場合）、たとえば、Takao Takaokaの$O\left(n^3 \sqrt{\frac{\log\log n }{\log n }}\right)$ アルゴリズム。

この問題はで解決できると言っているフォーラムのコメントも見つけました$O(N^2\log N )$「おもしろい」セグメントツリーを使用してN個の非ゼロ要素を持つ行列の場合（詳細についてはコメンテーターに尋ねることができます）。