四面体が多面体の内側にあるかどうかのテスト

私が持っている、四面体 と多面体。は、すべての頂点を常にと共有するように制約されます。私がいるかどうかを判断したいあるの内側。$t$ t p $p$$t$$p$$t$ $p$

解決に貢献する可能性がある場合に、問題に詳細を1つ追加しますはDelaunay四面体であり、面は三角形であり、頂点に関して強くDelaunayです。四面体は、その頂点の外接球に内部に他の頂点が含まれていない場合、ドロネーです。面上にその面の頂点を含む外接球が存在するが、面上または面内に他の頂点が存在しない場合、面は強くドローネです。$t$$p$$p$

次の図は、空間での同じ問題を示しています。 $2D$

元のポリゴン$p$：

の頂点のドロネー三角形分割$p$：

三角形に対する内側/外側テストの結果$t$（影付きの三角形は内側に あり、残りは外側にあります）：$p$

望ましい結果（三角形の外側の剪定）：

私の元々の問題は3D空間にあるため、上の図の三角形は四面体に変換され、多角形は任意の多面体変換されます。この問題のいくつかの定式化を見つけました。$t$$p$$p$

公式1 pの外側になりうるtの
部分は、そのエッジと三角形の面だけですが、一般に、その表面にすべての外側tのエッジを持つpが存在する可能性があるため、この問題は四面体tに対してpの外側にある面が存在するかどうかをテストしますか？$t$$p$$p$ $t$$t$ $p$

公式2この問題に対する別の見方がありますが、正式なアイデアはありません。
幾何学的に、が外側の場合、常にpの外側の表面に付着します。私たちは計算することができる場合輪郭（非公式に、外側境界） C V及びC VのPようにV = VのT ∪ VのP及びVのT、Vのpはの頂点の集合であり、T 、P、次にそれぞれ、$t$$p$$C_{V}$$C_{V_{p}}$$V=V_{t}\cup V_{p}$$V_t,V_p$$t,p$ tがp内にある場合に限ります。 $C_{V}=C_{V_p}$ $t$$p$

私が知りたいのですが：

• 配合1または配合2のどちらを解決できますか？
• または、これを解決するためのまったく異なるアプローチがありますか？

更新：
この問題は、多面体の点の問題に還元できることがわかりました。以来外部面体あります少なくとも外側に位置する一方の面Pを常に存在します（一般的にはその頂点を除いて、）その面上の任意の点に、外Pを。したがって、tの各面について、任意の点を取り、その点がpの外側にあるかどうかをテストする必要があります。$t$$p$ $p$$t$ $p$

ポリゴンの記事のポイントから、レイキャスティングアルゴリズムとワインディングナンバーアルゴリズムについて知りました。ポイントがpの表面にある場合、レイキャスティングは数値的に安定しません。しかし、ワインディング数アルゴリズムの数値的堅牢性はそこに対処されていません。 $p$

上記に基づいて、私の中心的な問題は次のようになります（別の質問として尋ねるべきかどうかを提案してください）：多角形問題の
数値的に堅牢なアルゴリズムはありますか？

私は最近、アレック・ジェイコブソン他による論文「一般化されたワインディング数を使用したロバストな内外セグメンテーション」でこの問題の解決策を見つけました。これは、一般化されたワインディング数の概念を使用して、ポイントが任意の（自己交差、非多様体、オープンサーフェスなどの）多角形メッシュの内側（または外側）にある場合の位置を特定する問題を解決します。

$t$$p$