自然数線形システムを解くためにどのようなアルゴリズムが存在しますか？

私は次の問題を見ています：

自然数、およびいくつかの入力ベクトル次元ベクトルが与えられると、はと自然数係数の線形結合ですか？v 1、… 、v m u u v $n$$v_1, \ldots, v_m$$u$$u$$v_i$

つまり、いくつかのがありますここで、ですか？ U = T 1 、V 1 + ⋯ + T M のV $t_1, \ldots, t_m \in \mathbb{N}$$u = t_1 v_1 + \dots + t_m v_m$

明らかに、この問題の実数バージョンはガウスの消去法を使用して解決できます。私は不思議に思っています、この問題の整数バージョンは研究されましたか？それを解決するためにどのようなアルゴリズムが存在しますか？

これは自然数を使用していますが、モジュラー演算を使用していないため、これは中国の剰余定理やそのようなシステムとは多少異なります。また、それはディオファントス方程式に関連しているようですが、非負の整数のみが考慮される場合に何が行われたのでしょうか？これは、多次元のサブセット和問題を連想させるものであり、一般化されて、各ベクトルの任意の数のコピーを取ることができます。$u$がv_1、\ dots、v_mによって生成されたラティスの要素であるかどうかのテストにも関連しているようですが、ここでは負でない係数との線形結合しか許可されていません。$v_1,\dots,v_m$

興味のある人にとっては、これは、Parikhの定理のように、Parikhベクトルが線形セットにあるかどうかを見ることによって動機付けられます。

特に、実数/浮動小数点数に入るのを避け、自然数演算のみを使用して問題を解決できるアルゴリズムに興味があります。

あなたの問題は、サブセット和からの削減によるNP完全です（すべてが非負であるという事実は、解の係数を十分に上手く束縛するため、NPにあります）。インスタンスを考えるとサブセット和のが（のサブセットがあるに加算する？）、私たちは、インスタンスの構築あなたの次のような問題。各、を2つの非ゼロエントリを持つベクトルに置きます：および、およびは、一意のゼロ以外のエントリ持つベクトルになります。ターゲットベクトルは$S = \{s_1,\ldots,s_n\}, T$$S$$T$$v_1,\ldots,v_{2n},u$$1 \leq i \leq n$$v_i$$v_{i,i} = 1$$v_{i,n+1} = s_i$$v_{n+i}$$v_{n+i,i} = 1$$u=1,\ldots,1,T$。等しい各自然な組み合わせは、のそれぞれの1つを正確に選択する必要があるため、合計が次のようになるサブセットをエンコードします。最後のコンポーネントの値。$v_1,\ldots,v_{2n}$$1,\ldots,1,\ast$$v_i,v_{n+i}$$S$