2つの最長パスごとに少なくとも1つの頂点が共通であることを証明する

グラフが接続されており、長さが超えるパスがない場合、長さの2つのパスごとに少なくとも1つの頂点が共通であることを証明します。 k G $G$$k$$G$$k$

その共通の頂点は両方のパスの中間にあるべきだと思います。これが当てはまらない場合、長さパスを持つことができるためです。私は正しいですか？$>k$

ことを矛盾のために想定$P_{1} = \langle v_{0},\ldots,v_{k}\rangle$及び$P_{2} = \langle u_{0},\ldots,u_{k}\rangle$内の2回のパスである$G$長さの$k$なし共有頂点を持ちます。

$G$接続され、パスが存在する$P'$結ぶ$v_{i}$と$u_{j}$いくつかのために$i,j \in [1,k]$ように$P'$株式となし、頂点$P_{1} \cup P_{2}$以外の$v_{i}$と$u_{j}$。セイ$P' = \langle v_{i},x_{0},\ldots,x_{b},u_{j}\rangle$（何があってもよいことに留意されたい$x_{i}$頂点、すなわち、$b$ないかもしれない$0$-表記は、しかし少し不足しています）。

一般性を失うことなく、私たちはその仮定してもよい$i,j \geq \lceil\frac{k}{2}\rceil$（私たちは常に番号を逆にすることができます）。その後、我々は新しいパス構築することができます$P^{*} = \langle v_{0},\ldots,v_{i},x_{1},\ldots,x_{b},u_{j},\ldots,u_{0}\rangle$（一緒に行くことによって$P_{1}$に$v_{i}$その後、橋を渡って形成し、$P'$へ$u_{j}$、その後に沿って$P_{2}$に$u_{0}$）。

明らかに、$P^{*}$は少なくとも$k+1$長さを持ちますが、これは$G$が$k$より長い長さの経路を持たないという仮定と矛盾します。

そのため、長さ$k$ 2つのパスは少なくとも1つの頂点で交差する必要があり、それが中間（1つしかない場合）でなければならないという観察は、推論したとおりに続きます。

共通の頂点は両方のパスの中間になければならないことは正しいです。

ただし、その直観では、解決しようとしている実際の問題は解決されません。

代わりに、パス内の任意のポイントが指定されている場合、元のパスの端の1つを指す（および含む）パスセグメントは、フルパスのノードの半分よりも厳密に大きい必要があることを実証してください。

それを示したら、あなたが尋ねられた問題を解決し、あなたの推測を確認できる。