スペクトルグラフ理論はグラフ同型について何と言っていますか

スペクトルグラフ理論のコンテキストでグラフ同型を論じる研究や結果はありますか？

スペクトルグラフ理論の2つの既知の定理は次のとおりです。

1. グラフの隣接行列に固有値のマルチセットが等しい場合、2つのグラフはアイソスペクトルまたはコスペクトルと呼ばれます。

2. ほとんどすべての木は共スペクトルです。

3. グラフの隣接行列の固有値は、ラベルを付け直しても変化しません（ただし、これは必要かつ十分な条件ではありません）。

さらに、グラフ同型は解決が「簡単」ですか？

グラフの同型性は、早くも1971年にクックの有名なNP完全性に関する論文で素数性テストとともに言及されています。クックは、両方の問題のNP完全性を証明できなかったと述べています。今日、素数性テストはPで行われることがわかっていますが、グラフ同型の状態はまだ不明です。ほとんどの専門家は、それが「NP中間体」、つまりPではなく、NP完全ではないと推測しています。準多項式時間（時間内で実行されるアルゴリズム）で解くことができるはずだという推測$2^{\log^{O(1)} n}$）。Luksにより、現在最もよく知られているアルゴリズムには実行時間があります$2^{O(\sqrt{n\log n})}$。いわゆる群論法を使用しています。

最も一般的な2つのアプローチは、個別化/洗練とグループ理論による方法です。前者のアプローチは、1つのグラフの頂点を他のグラフの頂点に一致させようとします。次数の頂点を指定$d$ 最初のグラフに属し、次数の頂点にのみ一致できます $d$ 他のグラフでは、これは両方のグラフが $d$-通常。個別化/改良は、頂点のより詳細な「タイプ」を生成するためのフレームワークです。

同様のアプローチでスペクトル法を強化できる可能性がありますが（これは、コスペクトルグラフでは失敗します）、これらの線に沿った作業はありません（存在する可能性はありますが、私はこの分野の専門家ではありません）。

群論法は、グラフ同型をグラフの自己同型グループのジェネレーターを見つける問題に削減します。2つのグラフを考える$G_1,G_2$、アイデアは、ジェネレータを計算することです $\operatorname{Aut}(G_1 \cup G_2)$、それらのいずれかが頂点を切り替えるかどうかを確認します $G_1$ の頂点で $G_2$。詳細については、Arvindの講義ノートの例を参照してください。

最先端技術の最近の概要については、ババイの論文を参照してください。ババイはこの地域の主要な研究者の一人です。

実際のグラフ同型は、まったく別の問題です。最近の概要は、人気のあるパッケージの作者であるマッケイの論文に記載されていますnauty。