ガソリンスタンドの問題のアルゴリズムを理解する

ガスステーションの問題我々が与えられているの都市とそれらの間の道路。各道路には長さがあり、各都市には燃料の価格が定義されています。道路の1つの単位は燃料の1つの単位を要します。私たちの目標は、できるだけ安価な方法でソースから目的地に行くことです。私たちのタンクはいくつかの値によって制限されています。{ 0 、… 、n − 1 $n$$\{ 0, \ldots, n-1 \}$

アルゴリズムを理解しようとするので、解決策を計算するための手順を手動で書き留めました。残念ながら私は行き詰まりました-ある時点で考慮すべきエッジがありません、理由がわかりません、おそらく何かが足りないのです。

例：
道路：
0 ----------- 1 ------------ 2 -------------- 3
（それはしません単純である必要があります。グラフは任意です。つまり、0-> 2、0-> 3、1-> 3などの道路が存在する可能性があります。）

ソース：0、デスティネーション：3、タンク：10ユニット
燃料価格：0 :10ユニット、1：10ユニット、2：20ユニット、3：12ユニット
長さ：0-> 1：9ユニット、1-> 2：1ユニット、2-> 3：7ユニット
最適解： 0で9ユニット、1で8ユニットを入力します。合計コストは170ユニット（9 * 10 + 8 * 10）になります。

そこで、ここに示すように計算してみました（2.2項）

GV[u] is defined as:
GV[u] = { TankCapacity - length[w][u] | w in Cities and fuelPrice[w] < fuelPrice[v] and length[w][u] <= TankCapacity } U {0}

so in my case:
GV[0] = {0}
GV[1] = {0}
GV[2] = {0, 3, 9}
GV[3] = {0}

D(u,g) - minimum cost to get from u to t starting with g units of fuel in tank:
D(t,0) = 0, otherwise:
D(u,g) = min (foreach length[u][v] <= TankCapacity)
         { 
           D(v,0) + (length[u][v] - g) * fuelPrice[u]                             : if  fuelPrice[v] <= fuelPrice[u] and g <= length[u][v]
           D(v, TankCapacity - length[u][v]) + (TankCapacity - g) * fuelPrice[u]  : if  fuelPrice[v] > fuelPrice[u]
         }

so in my case:
D(0,0) = min { D(1,0) + 9*10 }  - D(0,0) should contain minimum cost from 0->3
D(1,0) = min { D(2,9) + 10*10 } - in OPT we should tank here only 8 units :(
D(2,9) = min { ??? - no edges which follows the condition from the reccurence 

Nevertheless D(0,0) = 90 + 100 + smth, so it's already too much.

To achieve the optimal solution algorithm should calculate D(2,7) because the optimal route is:   
(0,0) -> (1,0) -> (2, 7) -> (3, 0) [(v, g): v - city, g - fuel in tank]. 
If we look at G[2] there is no "7", so algorithm doesn't even assume to calculate D(2,7), 
so how can it return optimal solutions?

ドキュメントからの繰り返しが機能しないようであるか、何かが間違っている可能性が高いです。

誰かがこれを手伝ってくれませんか？

問題は、min()pの式（4）の最初の引数の条件にあります。7.現在

c(v) <= c(u) and g < d[u][v]

しかしそれは

(c(v) <= c(u) or v = t) and g < d[u][v]

tに到着して強制的にガスを残さないようにする。（Fill-Row（u、q）のバグについての以下の私の説明と同様に、tでのガスのコストにはまったく関心がありません。そして、そこと同様に、問題を修正する別の方法はc（t ）アルゴリズムの最初は0です。）

この公開されたアルゴリズムの間違いを修正し、以下で説明するように欠落しているエッジを追加することで（あなたの間違い:-P）、すべてが機能するのに十分です。

不足していることの1つは、グラフGが完全でなければならないことです（セクション2、p。4の最初の文）-完全でない場合は、不足しているエッジを追加する必要があります。グラフ。たとえば、例のグラフでは、（とりわけ）1から3までのエッジがあり、重みが8（2経由のパスに対応）であるため、実際にはGV [3] = {0、2}になります。

それで問題が完全に解決するかどうかはわかりませんが、解決するはずです。

それとは別に、pのFill-Row（u、q）アルゴリズムにバグがあると思います。6：このアルゴリズムはq = 1の場合を特別に処理しますが、そうではありません。変更することで修正できると思います

if c(v) <= c(u)

3行目で

if c(v) <= c(u) or q = 1

最終レグを強制的に空にして目的地に到着させます。（直感的には、最終目的地tでのガスの価格は常に無視する必要があります。）これを回避する別の方法は、最初にc（t）を0で上書きすることです。

@j_random_hackerソリューションを使用して、グラフを完全なグラフに変換し、条件を式（4）から次のように変更する必要があります。

(c(v) <= c(u) or v = t) and g < d[u][v]     

完全なグラフは次のようになります。

そして最終的な計算：

GV[0] = {0}, GV[1] = {0}, GV[2] = {0, 3, 9}, GV[3] = {0, 2}

D(0,0) = min { D(1,0) + 9 * 10 }
D(1,0) = min { D(2,9) + 10 * 10, D(3,0) + 8*10 }
D(3,0) = 0
... etc

so D(0,0) = 170

0-> 1-> 3 [合計コスト170 $]のパスがソリューションです。それが私たちが期待したものです:-)。ルートが必要な場合は、これらの余分なエッジをソリューションから指定されたエッジに最初に変換できるはずです（それほど難しいことではありません）。

私はこの再発でデッドループをどのように回避すべきか疑問に思います。たとえば、c（0）<= c（1）およびc（1）<= c（0）であるため、0 <-> 1の間にデッドループが存在する可能性があります。

アイデアは、必要に応じて、どこにいても最も安い料金で燃料を入手することです（貪欲アルゴリズムパラダイム）

いくつか例を挙げましょう。あなたの例では

ソース：0、デスティネーション：3、タンク：10ユニット燃料価格：0：10ユニット、1：10ユニット、2：20ユニット、3：12ユニット長さ：0-> 1：9ユニット、1-> 2：1ユニット、2-> 3：7ユニット

私は最初に9ユニットを移動する必要があるため、0で> = 9ユニット（容量> = 9）をタンクに充填する必要があります。今、私は1,2,3で燃料レートが0での燃料レート以上であることを確認できます。必要な燃料を最も安いレートで購入したいので、9 + 1 + 7 = 17ユニットを満タンにしようとします。市0のみ。しかし、タンクの容量は17未満、たとえば10になる可能性があります。したがって、10まで充填します。その後、1で燃料が1ユニット残っており、8ユニット以上トラバースする必要があるため、1で7を充填しますもっと単位。レートが高くなるので、2で満たすことができません。私の合計コスト= 10 * 10 + 7 * 10 = 170。

貪欲なアルゴリズムは、上記の考えに従います。都市iでの燃料費。2つの都市と間の距離。「満タン」とは、タンクが満たされる燃料の単位です。「容量」は最大タンク容量です。d i j i $C_i$$d_{ij}$$i$$j$

i）フル= 0

ためii）はと、聞かせ後の最初の都市である、このようなこと（そのような場合、次に存在しない）。 = more_distance_need_to_travel_till_city_ =。都市で {フル、容量}の単位燃料を購入します。フル= {フル、容量}。設定します。$i=0$$n-1$$l$$i$$C_i > C_l$$l$$l=n-1$$d_l$$l$$\sum_{k=i+1}^l d_{k,k+1}$$\min$$d_l -$$i$$\min$$d_l -$$i=l$