CLRS-Maxflow Augmented Flow Lemma 26.1-defの使用を理解していません。証明で

コーメンら al。、Introduction to Algorithms（3rd ed。）、私は補題26.1の証明で、拡張されたフローはフローであり、st | f \ uparrow f'であることを示す行を取得しません。| = | f | + | f '| （これはpp。717-718です）。$f\uparrow f'$$G$$|f\uparrow f'| =|f|+|f'|$

私の混乱：フロー保護について議論するとき、最初の行でf \ uparrow f 'の定義を使用し$f\uparrow f'$て、各$u\in V\setminus\{s,t\}$

$$\sum_{v\in V} (f\uparrow f')(u,v) = \sum_{v\in V} (f(u,v)+f'(u,v) - f'(v,u)),$$

ここで、拡張パスは次のように定義されています

$$(f\uparrow f')(u,v) = \begin{cases} f(u,v)+f'(u,v) - f'(v,u) & \text{if $(u,v)\in E$}, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}$$

なぜ彼らは総和の「その他の」節を無視できるのですか？最初の節がそのようなすべての場合にゼロと評価されるとは思いません。彼らは何らかの方法で$f$とf 'のフロー保存を使用しています$f'$か？

注：以下で使用されている表記と定義は、本の第3版から借用したものです。

この質問に答えるために、最初にif、次にフロー定義により、$(u,v) \notin E$

$$f(u,v) = f'(u,v) = (f \uparrow f')(u,v) = 0 \, .$$

さらに、が得られ。これは単に、、$f'(v,u) \le c_f(u,v) = f(u,v)$$f'(v,u) = 0$$\forall (u,v) \notin E$

$$(f \uparrow f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) - f'(v,u) = 0 \, .$$

したがって、すべてのの拡張フローの定義は、次のように一般化できます。$(u,v) \in V \times V$

$$(f \uparrow f')(u,v) = f(u,v) + f'(u,v) - f'(v,u) \, .$$

証明の残りの部分は、当然のことながら本文で説明されていないこの観察から得られます。

PS本書の第3版のフローの正式な定義は、第2版のフローの定義とは大きく異なることに注意してください。特に、第2版には、を必要とするスキュー対称という名前のフロープロパティがあります。このプロパティは、 ifおよび if$f(u,v) = - f(v,u), \forall u,v \in V$$(v,u) \notin E$$(u,v) \in E$$f(v,u) = 0$$(v,u) \notin E$。このため、2つのエディションでのフロー保護の定義も異なります。実際、そのような混乱の多くは、おそらく証明を単純化することを意図したこの定義の変更に起因しますが、より複雑になりました。私は個人的に、この特定の章については本の第2版に固執したいと思います。