最小の移動数で数字を照合するアルゴリズム

これは編集距離の質問の一種で、とても簡単です。私はこの問題についてはかなり頭がおかしくて、今のところそれを理解することはできません。

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一連の数値が与えられた場合、例えば

[3, 1, 1, 1]

「ムーブ」の数を最小限に抑えて、すべての数値を同じ数値に最も効率的に変換するにはどうすればよいでしょうか。「移動」とは、数値から1を追加または削除することを意味します。

上記の例では、最も効率的な移動は次のとおりです。

[1, 1, 1, 1]

これには2回の移動が必要で、最初の数を2回減らします。

数百の数のはるかに大きな配列を考えると、これを見つけるための最良の方法を見つけることができません。

私は最初に丸められた平均数（長さで割ったすべての合計）を計算してから、計算された平均に減らしましたが、上記の例はこれを壊し、2の代わりに4手を必要としました。

私は理解できると思います：

1. 平均、
2. モード、
3. 中央値

そして、それぞれの編集距離を取得し、最小距離を選択します。ただし、これがすべてのインスタンスで正しいかどうかはわかりません。どうやって知ることが出来ますか？

答えは中央値を取ることです。中央値の特性の1つは、各要素までのL1距離を最小にすることです。（ウィキペディアの記事を理解するために、確率分布を元の一連の数値の一様分布と見なしてください）。

これは問題を解決するアルゴリズムです（元々はdc2によって書かれました）：

function median(arr) {
  arr.sort(function(a, b) { return a - b; });
  var half = floor(arr.length/2);
  if ( arr.length % 2 ) {
    return arr[half];
  } else {
    return (arr[half-1] + arr[half]) / 2.0;
  }
}

function minl1(arr) {
  var moves = 0;
  var mdn = median(arr);
  for ( var i = 0; i < arr.length; ++i ) {
    moves += Math.abs(mdn - arr[i]);
  }
  return moves;
}

minl1([3, 1, 1, 1]); // -> 2

$x_1,\ldots,x_n$$m$

$$\delta(m) = \sum_{i=1}^n |m - x_i|.$$ $\delta(m+1) - \delta(m)$ $$\delta(m+1) - \delta(m) = \sum_{i=1}^n \begin{cases} +1 & m \geq x_i \\ -1 & m < x_i \end{cases} = \#\{i : m \geq x_i\} - \#\{i : m < x_i\}.$$ $m$$-\infty$$+\infty$$\delta(m+1) - \delta(m)$$-n$$n$$x_1,\ldots,x_n$$m$$\delta(m+1) - \delta(m) \geq 0$$x_i$$\min(\delta(x_1),\ldots,\delta(x_n))$

さらに、すべてのが別個であり、が奇数であるとします。してみましょう中央値も。次に、一方で、なので、は一意の最適値です。もしであっても、同様の計算を示し、我々は中央値を結ぶ区間内の任意のポイントを選択することができるということです。同様ですがより複雑な推論は、が区別されない場合でも中央値が最適であることを示しています。したがって、実際にはすべてのを計算する必要はありません。、N 、M 、X 、I δ （M + 1 ）- δ （M ）= 1 δ （M ）- δ （M - 1 ）= - 1 、M nはX I δ X $x_i$$n$$m$$x_i$$\delta(m+1) - \delta(m) = 1$$\delta(m) - \delta(m-1) = -1$$m$$n$$x_i$$\delta$$x_i$

問題はLP問題として定式化できます。

数値のセット、次のLPを解きます：$n$$[a_1,a_2... a_n]$

$$\min \sum |a_i - x|$$

（Raphaelが指摘したように必要ではなかった制約を削除）$x$

LPが解決されると、解に対応する値が得られます。場合 整数である、あなたが行われている-それ以外の、最も近い整数にそれラウンド。$x$$x$

編集：コメントで指摘されているように、目的関数は絶対差を合計する必要があります。それを標準LPに変換するために、LPを次のように書き直すことができます。

$$\min \sum a'_i$$

対象：

A 「I ≤ A I - X ∀ I A 「私、X " ≥ 0 ∀

$$a'_i \geq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i \leq a_i - x\ \forall i$$ $$a'_i, x' \geq 0\ \forall i$$

最適解では、、そして解からの値を取得できます。$a_i' = | a_i - x|\ \forall i$$x$