疑似逆行列を見つける複雑さ

任意のフィールドのMoore–Penrose疑似逆行列を見つけるには、いくつの算術演算が必要ですか？

行列が反転可能で複素数値の場合、それは単に逆になります。逆を見つけるには、時間かかります。ここで、は行列乗算定数です。これは、アルゴリズムの第3版の概要の定理28.2です。 $O(n^\omega)$ $\omega$

行列の場合線形独立行または列を有し、複素数値は、擬似逆行列を用いて計算することができる又はのそれぞれここで、の共役転置である。特に、これはの疑似逆行列を見つけるための時間を意味します。 $A$ $A^*(A A^*)^{-1}$ $(A A^*)^{-1}A^*$ $A^*$ $A$ $O(n^\omega)$ $A$

一般的な行列の場合、私が見たアルゴリズムはQR分解またはSVDを使用します。これは、最悪の場合算術演算をとるようです。より少ない操作を使用するアルゴリズムはありますか？ $O(n^3)$

algorithms linear-algebra

— チャオ・スー
ソース

私はフォローアップ持って、それはあまりにも基本的なことかもしれませんが、あなたが何であるかをご確認くださいすることができますnは、ここで複雑方程式では。それは行列の次元ですか、行列が正方形でない場合はどうなりますか？

— マイクポンプ2018

逆に見出すことができるという主張に

時間、

実際に正方行列の次元です。行列が正方でない場合、

をより大きな次元にすることができます。

O (n^{ω})

$O(n^\omega)$

n

$n$

n

$n$

— デビッドリチャービー2018

これは簡単な質問なので、ここで回答しました。ただし、さらに質問がある場合は、ページの上部にある[質問する]ボタンを使用して、個別のページとして質問してください。このページにリンクして、状況を説明できます。このサイトは、ページごとに1つの質問に対してのみ設定されています。スレッドがなく、投稿が投票に応じて移動するため、1つのページに複数の質問があると、事態がひどく乱雑になります。詳細については、ショートツアーとヘルプセンターをご覧ください。

— デビッドリチャービー2018

そもそも、が無限であることを忘れがちです。私たちは書くたびすべてがために、我々は実際に意味、時間に実行されているアルゴリズムがある。 $\omega$ $O(n^\omega)$ $\gamma > \omega$ $O_\gamma(n^\gamma)$

ケラー・ゲーリックは、マトリックスに存在する方法（他の中）を示した中でランク正規形時間で。場合ランク有する、その後のランク正規形であるいくつかの可逆用の、適切な寸法の代数的複雑性理論、435ページの命題16.13も参照してください。 $A$ $O(n^\omega)$ $A$ $r$ $A$

S (\begin{matrix} I_{r} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) T

$S \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} T$

S, T

$S,T$

$A = XY$ $X$ $r$ $Y$ $r$ $X$ $r$ $S$ $Y$ $r$ $T$ $O(n^\omega)$

— ユヴァルフィルムス
ソース

答えてくれてありがとう！紙を手に入れましたが、背景が足りないようです。この種の結果についての良い紹介/調査はありますか？私は代数的複雑性理論の本が良いものであることを知っていますが、現在それは図書館からチェックアウトされています...

— Chao Xu

関連する講義ノートがあるかもしれませんが、おそらく本を見てみるのが最善です。CLRS（Introduction to Algorithms）には、行列の乗算と行列の逆数の等価性などの関連資料も含まれています。

— Yuval Filmus

O (n^{ω})

$O(n^ω)$

w

$w$

の値はわかりません。Le Gallによる最高の上限はです。あると推測されます。

ω

$\omega$

ω < 2.3728639

$\omega < 2.3728639$

ω = 2

$\omega = 2$

— Yuval Filmus