ましょ帰納的可算言語（非自明なセットで）およびlet、いくつかの言語を認識するチューリングマシンのエンコーディングのセットである：$C$$\emptyset \subsetneq C \subsetneq \mathrm{RE}$$L$$C$

と仮定します。ここで、は決して停止しないTMです。が可能かどうかは疑問です。$\langle M_{loopy}\rangle \in L$$M_{loopy}$$L \in \mathrm{RE}$

ライスの定理により、（再帰言語のセット）であることを知っているので、またはです。以降の最初のオプションにする必要がありますか？$L \notin \mathrm{R}$$L \notin \mathrm{RE}$$\overline{L} \notin \mathrm{RE}$$M_{loopy} \in L$

いいえ、それは不可能です。インデックスセットが再帰的に列挙できないことを証明するために、ライスの定理の拡張バージョンがあります。

あなたの記法では、定理は、（自明ではない） $C$ 言語が含まれています $L_1$ 適切なスーパーセットがあります $L_2$ ありませんで$C$、その後 $L \notin \mathrm{RE}$。直感は、どのアルゴリズムもエンコーディングを分離できないことです$L_1$ そして $L_2$; 彼らは、エンコードされたマシンがないことを決めることができないではないから、任意の単語を受け入れます$L_2 \setminus L_1$ 彼らがしなければならなかった有限の時間の後。

今必要なのは $\emptyset \in C$ だが $C \neq 2^{\Sigma^*}$、したがって定理が適用され、 $L$ 再帰的に列挙できません。

1. Wikipediaの記事は恐ろしいです、注意してください！

ラファエルの答えを完成させるために、ライスの定理を次のように拡張したものがあります。

一般化された米の定理

しましょう $S \subseteq RE$ いくつかのプロパティにしてみましょう $L_S$ プロパティを満たすすべてのTMである $S$、 あれは、

$$L_S = \{ \langle M \rangle \mid L(M) \in S \}.$$ そして、 $L_S \in RE$以下の条件がすべて当てはまる場合に限ります。

1. のために $L_1,L_2 \in RE$、 $L_1 \in S$ そして $L_1 \subseteq L_2$ その後 $L_2 \in S$。
2. もし $L_1\in S$ それから有限が存在します $L_2 \subseteq L_1$ そのような $L_2 \in S$。
3. すべての有限言語の言語 $S$'はREにあります。
   （つまり、TMが存在する$M_S$ それなら $L$ 有限の言語です $L=\{w_1, w_2, \ldots w_k)$、および $(w_1, w_2, \ldots, w_k)$ に与えられている $M_S$ 入力として、 $M$ 受け入れる場合のみ $L\in S$。

元の質問に戻ります。私たちは今、$\langle M_{loopy}\rangle\in L$ そう $L(\langle M_{loopy}\rangle)\in C$。だが$L(\langle M_{loopy}\rangle)=\emptyset$このTMは決して停止しないため。この意味は$\emptyset \in C$。

上記の定理の最初の条件を見てみましょう。すべての言語$L$ 満たす $\emptyset \subseteq L$。したがって、条件1を満たすためには、$C=RE$。ただし、質問には、$C\subsetneq RE$ したがって、定理により、 $L\notin RE$。

それは可能です $L$再設定です。ケースを検討してください$C = RE$。その後$L$すべてのチューリングマシンのすべてのコードのセットです。これは再帰的なセットであり、実際には、エンコーディングの詳細に応じて、$L = \mathbb{N}$。ですから実際には$L$ 再帰的にすることはできません。

私はあなたが質問を誤解したのではないかと思います。