BFS / DFSを使用して木の直径を見つけるアルゴリズム。なぜ機能するのですか？

このリンクは、BFS / DFSを使用して無向木の直径を見つけるためのアルゴリズムを提供します。要約：

グラフ内のノードsでBFSを実行し、最後に検出されたノードuを記憶します。最後に検出されたノードvを思い出して、uからBFSを実行します。d（u、v）は木の直径です。

なぜ機能するのですか？

このページ2には理由がありますが、混乱を招きます。証明の最初の部分を引用しています：

グラフ内のノードsでBFSを実行し、最後に検出されたノードuを記憶します。最後に検出されたノードvを思い出して、uからBFSを実行します。d（u、v）は木の直径です。

正しさ：d（a、b）が木の直径になるように、aとbを2つのノードとします。aからbへの一意のパスがあります。tをBFSによって検出されたそのパス上の最初のノードとします。sからuへのパスとaからbへのがエッジを共有しない場合、tからuへのパスにはsが含まれます。そう$p_1$$p_2$

$d(t,u) \ge d(s,u)$

$d(t,u) \ge d(s,a)$

....（さらに不等式が続きます..）

不平等は私には意味がありません。

クレームの証明のすべての部分は、無向のエッジを持つツリーの2つの重要な特性にかかっています。

• 1-接続性（つまり、ツリー内の任意の2つのノード間に、正確に1つのパスがある）
• どのノードもツリーのルートとして機能できます。

任意のツリーノード選択します。はノードであると仮定します。さらに、アルゴリズムが最初に始まるノード見つけ、次に始まるノード見つけると仮定します。wlog。アルゴリズムの最初の段階がならない限り、を保持する必要があることに注意してください。ことがわかります。U 、V ∈ V （G $s$$u, v \in V(G)$X S 、Y 、X 、D （S 、U ）≥ D （S 、V ）D （S 、X ）≥ D （S 、y ）x d （x 、y ）$d(u,v) = diam(G)$$x$$s$$y$$x$$d(s,u) \geq d(s,v)$$d(s,x) \geq d(s,y)$$x$$d(x,y) = d(u,v)$

関連するすべてのノードの最も一般的な構成は、次の擬似グラフィックで見ることができます（おそらくまたはまたは両方）。 s = z x $s = z_{uv}$$s = z_{xy}$

(u)                                            (x)
  \                                            /
   \                                          /
    \                                        /
     ( z_uv )---------( s )----------( z_xy )
    /                                        \
   /                                          \
  /                                            \
(v)                                            (y)

私達はことを知っています：

1. D （U 、V ）< D I M （G $d(z_{uv},y) \leq d(z_{uv},v)$。それ以外の場合、は仮定と矛盾します。$d(u,v) < diam(G)$
2. D （U 、V ）< D I M （G $d(z_{uv},x) \leq d(z_{uv},u)$。それ以外の場合、は仮定と矛盾します。$d(u,v) < diam(G)$
3. $d(s,z_{xy}) + d(z_{xy},x) \geq d(s,z_{uv}) + d(z_{uv},u)$、それ以外の場合、アルゴリズムのステージ1は停止しました。$x$
4. $d(z_{xy},y) \geq d(v,z_{uv}) + d(z_{uv},z_{xy})$、そうでなければ、アルゴリズムのステージ2は停止しません。$y$

1）および2）。$\, \\ d(u,v) = d(z_{uv},v) + d(z_{uv},u) \\ \qquad\geq d(z_{uv},x) + d(z_{uv},y) = d(x,y) + 2\, d(z_{uv}, z_{xy}) \\ \qquad\qquad\geq d(x,y)$

3）および4）同等。$\, \\ d(z_{xy},y) + d(s,z_{xy}) + d(z_{xy},x) \\ \qquad\geq d(s,z_{uv}) + d(z_{uv},u) + d(v,z_{uv}) + d(z_{uv},z_{xy}) \qquad\qquad\qquad\qquad \\ \,$$\, \\ d(x,y) = d(z_{xy},y) + d(z_{xy},x) \\ \qquad\geq 2*\,d(s,z_{uv}) + d(v,z_{uv}) + d(u,z_{uv}) \\ \qquad\qquad\geq d(u,v)$

したがって、です。$d(u,v) = d(x,y)$

代替構成のためのアナログ証明

                 (u)                          (x)
                   \                          /
                    \                        /
                     \                      /
     ( s )---------( z_uv )----------( z_xy )
                     /                      \
                    /                        \
                   /                          \
                 (v)                          (y)

そして

                          (x)        (u)  
                          /            \  
                         /              \ 
                        /                \
     ( s )---------( z_xy )----------( z_uv )
                        \                /          
                         \              /           
                          \            /            
                          (y)        (v)            

これらはすべて可能な構成です。特に、アルゴリズムのステージ1の結果によるおよびステージ2が原因Y ∉ P のT H （X 、U ）、Y ∉ P のT H （X 、V $x \not\in path(s,u), x \not\in path(s,v)$$y \not\in path(x,u), y \not\in path(x,v)$

背後にある直感は非常に理解しやすいです。特定のツリー内の任意の2つのノード間に存在する最長パスを見つける必要があるとします。

いくつかの図を描いた後、2つのリーフノード（リンクされているエッジが1つだけのノード）の間で常に最長パスが発生することがわかります。これは、2つのノード間に最長パスがあり、2つのノードのいずれかまたは両方がリーフノードでない場合、パスを延長してより長いパスを取得できるという矛盾によっても証明できます。

そのため、まず、どのノードがリーフノードであるかを確認し、次にリーフノードの1つからBFSを起動して、最も遠いノードを取得します。

最初にどのノードがリーフノードであるかを見つける代わりに、ランダムノードからBFSを開始し、次にどのノードがそれから最も遠いかを確認します。最も遠いノードをxとします。xがリーフノードであることは明らかです。ここで、xからBFSを起動し、そこから最も遠いノードをチェックすると、答えが得られます。

しかし、xが最大パスの終点になるという保証は何ですか？

例で見てみましょう：

       1   
    / /\ \
   6 2  4 8
         \ \
          5 9
           \
            7

6からBFSを開始したとします。6から最大距離にあるノードはノード7です。BFSを使用すると、このノードを取得できます。次に、ノード7からBFSにスターを付けて、最大距離でノード9を取得します。ノード7からノード9へのパスは、明らかに最も長いパスです。

ノード6から開始したBFSが最大距離のノードとして2を与えた場合はどうなりますか。その後、2からBFSを実行すると、最大距離のノードとして7が得られ、最長パスは長さ4で2-> 1-> 4-> 5-> 7になりますが、実際の最長パス長は5です。これは、ノード6からのBFSが最大距離でノード2をノードとして決して与えないために起こります。

それが役に立てば幸いです。

以下は、元の質問でより密接にリンクされたMITソリューションセットに続く証明です。わかりやすくするために、比較をより簡単に行えるように、同じ表記法を使用します。

パス上のと間の距離が直径になるように2つの頂点とがとします。例えば、距離はツリーの任意の2点間の可能な最大距離です。ノードもあるとします（場合、最初のBFSがを取得し、2番目がに戻るため、スキームが機能することは明らかです）。また、ようなノードがあるとします。$a$$b$$a$$b$$p(a, b)$$d(a, b)$$s \neq a, b$$s = a$$b$$u$$d(s, u) = \max_x d(s, x)$

補題0：とはどちらもリーフノードです。$a$$b$

証明：リーフノードではない場合、直径をと矛盾させて、エンドポイントをリーフノードに拡張することにより増やすことができます。$d(a,b)$$d(a, b)$

補題1：。$\max [d(s,a), d(s, b)] = d(s, u)$

証明：矛盾のために、と両方が厳密によりも小さいと仮定します。次の2つのケースを検討します。$d(s, a)$$d(s,b)$$d(s, u)$

ケース1：パス頂点が含まれていません。この場合、を直径にすることはできません。理由を確認するために、をまで距離が最小の上の一意の頂点とする。次に、、。同様に、ます。これは、直径であると矛盾します。$p(a, b)$$s$$d(a, b)$$t$$p(a, b)$$s$$d(a, u) = d(a, t) + d(t, s) + d(s, u) > d(a, b) = d(a, t) + d(t, b)$$d(s, u) > d(s, b) = d(s, t) + d(t, b) > d(t, b)$$d(b, u) > d(a, b)$$d(a, b)$

ケース2：パスに頂点が含まれています。この場合、再び、いくつかの頂点に対してため、直径にすることはできませんように、両方の及びはより大きくなります。$p(a, b)$$s$$d(a, b)$ $u$$d(s, u) = \max_x d(s, x)$$d(a, u)$$d(b, u)$$d(a, b)$

補題1は、最初のBFSの最後に検出された頂点で2番目の幅優先探索を開始する理由を示しています。場合から最大可能距離を持つユニークな頂点であるは、補題1により、それがなければならない距離を有するいくつかのパスのエンドポイントの1つの直径に等しくなるよう、ひいてはと第二BFSルートとしては明確に認めます直径。一方、であるような頂点少なくとも1つある場合、直径はことがわかります。、2番目のBFSをまたはで開始するかどうかは関係ありません。u s u v d （s 、v ）= d （s 、u ）d （$u$$u$$s$$u$$v$$d(s, v) = d(s, u)$$d(a, b) = 2d(s, u)$$u$$v$

最初にランダムノードからDFSを実行し、次にツリーの直径がそのDFSサブツリー内のノードの最も深いリーフ間のパスになります。

BFSの定義により、探索される各ノードの（開始ノードからの）距離は、探索される前のノードの距離に等しいか、1だけ大きくなります。したがって、BFSによって探索される最後のノードは、ノード。

したがって、任意のノードピック」に二回量BFSを使用するアルゴリズム、ノード検索から最も遠い（最後のノードから出発しBFSによって見出さ）ノードの検索から最も遠い（最後のノードから出発しBFSによって発見）。 "、したがって、互いから最大距離の2つのノードを見つけます。$x$$a$$x$$x$$b$$a$$a$

知っておくべき重要なことの1つは、ツリーが常に平面であるということです。つまり、ツリーは平面上に配置できるため、通常の2次元思考が機能することがよくあります。この場合、アルゴリズムはどこからでも開始し、できるだけ遠くに行くように指示します。そのポイントからあなたがそのポイントから離れることができる限りまでの距離は、木の中で最も長い距離であり、したがって直径です。

この方法は、島を完全に囲む最小の円の直径として定義した場合、実際の物理的な島の直径を見つけるためにも機能します。

@ op、PDFでのケースの定義方法は少しずれている場合があります。

私は2つの場合があると思う：

1. $p_1$はと交差しません。つまり、パスと間に共通の頂点はありません。この場合、から始まる最初のBFSによって発見されたの最初のノードとしてを定義します。$p_2$$p_1$$p_2$$t$$p_2$$s$

2. $p_1$とは、少なくとも1つの共通の頂点があります。この場合、を、同じく上にある最初のBFSによって発見された上の最初のノードとして定義します。$p_2$$t$$p_2$$p_1$

PDFの残りの証拠が続きます。

この定義により、OPで示される図はケース2に分類されます。