サブグラフとしてを保証するために必要なエッジの数

私は与えられた問題を解決しようとしています：グラフがステップでサイズ3のクリークを持つかどうかを決定するアルゴリズムを見つけます。与えられたヒントは、そのです。これを解決するために、私は推測を思いつきました：場合、グラフにはサブグラフとしてがあります。これは、予想が正しい場合、問題を簡単に解決します。 $O(n^{2.81})$ $2.81 > \log 7$ $m > n^{\log 7}$ $K_3$

私は矛盾して議論しようとしています：とし、サブグラフが存在しないと仮定します。次に、3つの頂点の任意のセットについて、それらを接続する方法として正確に7つの選択肢があります。しかし、ここからどうやって進むのか悩んでいます。 $m > n^{\log 7}$ $K_3$

誰かがこれを証明する方法を知っているか、あるいは推測が真実であるかどうか。また、推測が拡張できるかどうか、つまり場合にサブグラフが存在するかどうます。 $m > n^{\log 2^k -1})$ $K_k$

graph-theory

— kbrose
ソース

三角形を保証するには、 2/4エッジが必要です（en.wikipedia.org/wiki/Turán's_theoremを参照）。代わりに行列乗算を使用してください。

n^{2} / 4 + 1

$n^2/4 + 1$

— Louis

@Louis分割は床または天井に配置する必要があると思います

— saadtaame 2014年

何である？エッジの数は？場合の頂点の数であり、あなたがグラフを持つことができないつまりエッジの最大数、超えているため、エッジを。それはさておき、あなたの予想は十分ではないでしょう。確かに、エッジは三角形（マンテルの定理、トゥランによって一般化）を保証しますが、三角形と100万個の孤立した頂点には三角形が含まれ、250,000,000,001未満のエッジがあります。

m

$m$

n

$n$

n^{\log 7}

$n^{\log 7}$

(\binom{n}{2})

$\binom{n}{2}$

⌊ n^{2} / 4 ⌋ + 1

$\lfloor n^2/4\rfloor+1$

— David Richerby 2014年

@DavidRicherby最初のポイントはかなり正しいです。頂点の数が未満であると仮定できれば、すべてのエッジを実行して必要な結論に到達できると誤って考えました。これは、数秒以上考えた今、かなり馬鹿げています。しかし、あなたの2番目のポイントは、私が推測で達成しようとしていたことのポイントを逃しています。あなたの例は確かにエッジよりもはるかに多くの頂点を持っていますが、エッジの数が比較的少ないと仮定できれば、頂点について心配する必要はないと思いましたが、これは理にかなっていますか？

n^\log 7

$n^\log 7$

— kbrose 2014年

ヒント：行列乗算は時間ます。関連する行列は、グラフの隣接行列です。 $O(n^{2.71})$

実際、これは過去に何度か改善されています。最近、Le Gall はこれを改善しました。ごとに、行列の乗算が時間で実行されると推測され。 $O(n^{2.3728639})$ $O(n^{2+\epsilon})$ $\epsilon > 0$

— ユヴァルフィルムス
ソース