特定のDFAが最小限であるかどうかをどれだけ速く判断できますか？

最小化決定性有限オートマトン（のDFA）は、文献に詳細に研究されてきた問題であり、そしていくつかのアルゴリズム次のような問題を解決するために提案されています：DFAを考えると、同じ言語を受け入れて対応する最小限のDFAを計算A。これらのアルゴリズムのほとんどは、多項式時間で実行されます。$\mathscr{A}$$\mathscr{A}$

ただし、この問題の決定バリアントは「DFA 与えられた場合、Aは最小限ですか？」-実際に最小オートマトンを計算するよりも効率的に解くことができます。明らかに、これは、たとえば、Hopcroftのパーティション絞り込みアルゴリズムを実行してから、すべてのパーティションに正確に1つの状態が含まれているかどうかを判断することによっても効率的に実行できます。$\mathscr{A}$$\mathscr{A}$

Yuval Filmusが彼の回答で示唆しているように、決定可能性バリアントは、おそらく標準アルゴリズムを使用することで、より速く解決できます。残念ながら、その方法はわかりません（ここで明らかな点を見逃していないことを願っています）。

Yuvalはここのコメントで、最もよく知られているアルゴリズム（上記のものなど）が一定サイズのアルファベットに対して時間で実行されることを指摘しています。したがって、私はランタイムでの漸近的に重要な利益に関心があるだけでなく、かなり可能性が低いように見えます。私が最も気になるのは、私たちがイエスノーノーアンサーだけに関心があるという事実から引き出されるかもしれない「ショートカット」を想像できないことです-漸近的に無視できる時間を節約することを可能にするショートカットさえも。DFAの最小性を決定する賢明なアルゴリズムはすべて、実際にDFAを最小限に抑え、プロセス中に変更がないか確認する必要があると思います。$\mathcal{O}(n \log n)$

$\mathsf{NL}$

では、DFAが最小限であるとはどういう意味ですか？2つのプロパティがあります。

1. $\forall q \in Q \; \exists w \in \Sigma^*$$q$$s$$w$$s \rightarrow_w q$

2. $\forall q,r \in Q$$q \neq r$ $\exists w \in \Sigma^*$$q \rightarrow_w s$$r \rightarrow_w t$$|\{s,t\} \cap F| = 1$$s,t$

$x \rightarrow_w y$$\mathsf{L}$$w$$\forall$$\exists$$\mathsf{NL}$

$\mathsf{NL}$$s$$t$$\mathsf{NL}$

$\mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2$$n$