重み付きグラフの最小全域木は、与えられた重みで同じ数のエッジを持っていますか？

重み付きグラフに2つの異なる最小全域木およびがある場合、任意のエッジに対して、同じ重みを持つのエッジの数（自体を含む）は、と同じ重みを持つのエッジの数と同じですか？ステートメントが真である場合、どのようにそれを証明できますか？ $G$ $T_1 = (V_1, E_1)$ $T_2 = (V_2, E_2)$ $e$ $E_1$ $E_1$ $e$ $e$ $E_2$ $e$

graph-theory spanning-trees weighted-graphs

— アデンドン
ソース

トリッキーだが実行可能なアプローチの1つは、1）Kruskalのアルゴリズムがすべての最小スパニングツリーを生成でき、2）Kruskalによって検出されたすべての最小スパニングツリーが同じエッジウェイトマルチセットを持っていることを示すことです。

— ラファエル

回答:

主張：はい、その記述は真実です。

証明の概略：レッツエッジ重みマルチセットを持つ2つの最小スパニングツリーである。と仮定し、との対称差を示します。 $T_1,T_2$ $W_1,W_2$ $W_1 \neq W_2$ $W = W_1 \mathop{\Delta} W_2$

エッジをで選択し。つまり、はツリーの1つだけで発生し、重みが最小ではないエッジです。このようなエッジ、特には常に存在します。明らかに、重みすべてのエッジが両方のツリーに存在できるわけではなく、そうでない場合はです。Wlog 、がよりも多くの重みエッジを持っていると仮定します。 $e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$ $w(e) = \min W$ $e$ $e \in T_1 \mathop{\Delta} T_2$ $\min W$ $\min W \notin W$ $e \in T_1$ $T_1$ $\min W$ $T_2$

次に、によって誘導されるカットもあるすべてのエッジを考えます。エッジがある場合、と同じ量を有しそこに、更新用いての代わりに、新しいツリーは、と同じエッジ重みマルチセットを持つ最小スパニングツリーであることに注意してください。この引数を反復し、を2つの要素で縮小し、それによってすべてのステップでの候補のセットから1つのエッジを削除します。したがって、すべてのエッジ $T_2$ $C_{T_1}(e)$ $e$ $T_1$ $e'$ $e$ $T_1$ $e'$ $e$ $T_1$ $W$ $e$ $T_2 \cap C_{T_1}(e)$ （は更新されたバージョンです）以外の重みがあります。 $T_1$ $w(e)$

今、私たちは常に選択することができます我々が交換できるようにと、我々は新しいスパニングツリーを作成することができていること、¹ $e' \in C_{T_1}(e) \cap T_2$ $e$ $e'$

$\qquad \displaystyle T_3 = \begin{cases} (T_1 \setminus \{e\}) \cup \{e'\}, &w(e') \lt w(e) \\[.5em] (T_2 \setminus \{e'\}) \cup \{e\}, &w(e') \gt w(e) \end{cases}$

およびよりも小さい重みがあります。これは、最小スパニングツリーとしての選択と矛盾します。したがって、です。 $T_1$ $T_2$ $T_1,T_2$ $W_1 = W_2$

ノード入射であるパスによって接続された。はの一意のエッジです。 $e$ $T_2$ $P$ $e'$ $P \cap C_{T_1}(e)$

— ラファエル
ソース

Daveのコメントを参照して、0）TikZing後に見た反例があると信じて、1）ステートメントを証明しようとしたが失敗した、2）反例を作成しようとした後、この証明を思いつきました証明が失敗した場所と再び失敗した場所に基づいて、最後に3）これらの新しい例が証明を思い付くために機能しなかった方法を使用します。それはおそらく、それができるほど洗練されていない理由でもあります。

— ラファエル

賛否まさに、私がによって誘発されるCYTが何を意味するのか理解していないでだけのようなカットを見ていたIカット

e

$e$

T_{1}

$T_1$

(S, V - S)

$(S,V-S)$

— dragoboy

@dragoboy削除すると切断されます。1つのコンポーネントは形成し、もう1つのコンポーネントは補数を形成します。

e

$e$

T_{1}

$T_1$

S

$S$

— ラファエル

他のマトロイドでも機能する、もう少し単純な引数を次に示します。（私は別の質問からこの質問を見ました。）

にエッジがあると仮定します。一般性を失うことなく、重み関数が値をとると仮定します。したがって、をセット for分割します。私たちは、数の上での誘導を行うことができます非空のと頂点の数で ; 以下のためにと任意の、ステートメントが明らかです。 $G$ $m$ $w$ $[m]$ $E$ $E_i := w^{-1}(i)$ $i\in [m]$ $j$ $E_i$ $n$ $G$ $j=1$ $n$

マトロイドに関する標準的な事実は、すべてのMSTに対してによって誘導される順序の線形拡張があり、貪欲アルゴリズムが生成することです。 $T$ $w$ $T$

帰納を閉じるには、を最大数にして、が空にならないようにします。セット。線形拡張がエッジ前にすべてのエッジを置くことに。事実によれば、MSTはとからのいくつかのエッジによって誘導された部分グラフのスパニングフォレストで構成されます。帰納仮説により、各連結成分は、場合、各からの同じ数のエッジを持ちます。すべての選択肢から $t$ $E_t$ $E' = E_1 \cup \cdots \cup E_{t-1}$ $w$ $E'$ $E_t$ $F$ $E'$ $E_t$ $F$ $E_i$ $i < t$ $F$ 同じサイズを持ち、からスパニングツリーを完成させるために必要なからのエッジの数は、の選択に依存せず、完了です。 $E_t$ $F$ $F$

— ルイ
ソース

MST問題のマトロイドを提供できますか？私はそれを思いつくのは難しいことを覚えているようで、私はまだそれを（厳密に）見ていません。はい、私たちは貪欲法を使用しますが、ないマトロイド理論からの（正規の）が貪欲。

— ラファエル

そうは言っても、コア引数は機能すると思います（そして、マトロイドはまったく必要ありません）：Kruskalのアルゴリズムの正確さと、すべてのMST が特定の（並べ替えられた）重みマルチセットの順列でKruskalの実行から取得できるという事実によって（厳格な証拠保留中）、クレームは以下の通りです。それは些細でも即時でもないので、私は「証拠保留中」を書きます：クレーム自体を使用しなければ、クラスカルがすべてのMSTを見つけるべきである理由はまったく明確ではありません。明らかに、異なるマルチセットを持っている場合、クラスカルはそれを見つけられません！

— ラファエル

1.マトロイドはグラフィックマトロイドです。できた！

— ルイ

2.混乱しています。抽象的には、基底ポリトープに対して線形最適化を行っています。マトロイドの標準的な特性の1つは、任意の重みの選択に対して貪欲アルゴリズムが機能することです。最小全域木はすべて、このポリトープの面の頂点です。さて、LPからの標準的なアイデアは、私が言及した標準的な事実につながります。

w

$w$

— ルイ

1.参考にできますか？私は知らないグラフィックマトロイドを。2.ここでLPもドラッグします！私が言っているのは、あなたの答えにはマトロイドがなく、マトロイドがなければ推論の線は主張自体に依存しているようだということです。それを回避する方法があれば、答えを編集/明確にしてください。

— ラファエル