ポリゴンが任意の線に関して単調かどうかをテストするにはどうすればよいですか？

定義：Aポリゴン平面では直線に関して単調と呼ばれるへのすべての行が直交する場合は、と交差最も二回で。 $P$ $L$ $L$ $P$

多角形与えられた場合、多角形がに関して単調であるような線が存在するかどうかを判断することは可能ですか？はいの場合、どのように？ $P$ $L$ $P$ $L$

以前、関連する質問（特定のラインに関してポリゴンが単調かどうかを判断する方法を尋ねました）を尋ねましたが、が事前に指定または指定されていない場合に興味があります。 $L$

algorithms computational-geometry

— com
ソース

が

軸になるように座標系を回転/シフトしてから、古いアルゴリズムを再度実行するのはなぜですか？追加の仕事は

管理可能であるべきです。

L

$L$

x

$x$

O (1)

$\mathcal{O}(1)$

— -HdM

@HdM：行Lは入力の一部として指定されていません。

— 伊藤剛

可能です。

多角形であり、「凹」頂点を考慮してください。これらは、ポリゴンと2回以上交差するラインを正確に定義します。次の図では、禁止角度の間隔（赤）をマークしました。それらをまとめて、赤いディスクに穴が開いている場合、承認された角度（青）があります。ポリゴンは、次いで、勾配の線に対して単調である（緑色）。 $δ$ $-1/\tan δ$

小惑星

これでアルゴリズム。

$v_i=(x_i, y_i)$ $i$ $α_i$ $(v_iv_{i+1})$ $β_i$ $v_i$ atan2

α_{i} = atan2 (y_{i + 1} - y_{i}, x_{i + 1} - x_{i})

$α_i=\mbox{atan2}(y_{i+1}-y_i,x_{i+1}-x_i)$

β_{i} = α_{i + 1} - α_{i} + {\begin{cases} 0 & if α_{i + 1} \geq α_{i} \\ 2 π & if α_{i + 1} < α_{i} \end{cases}

$β_i = α_{i+1}-α_i+ \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{ if } α_{i+1} ≥ α_i \\ 2π & \mbox{ if } α_{i+1} < α_i \\ \end{array} \right.$

$s=\sum_i β_i-nπ$ $s=-2π$ $s=2π$

$m$ $π$ $β_j>π$ $δ$ $∪_j[α_{j+1},α_j]$ $π$ $j$ $β_j>π$

(δ < α_{j + 1} \lor α_{j} < δ) if α_{j + 1} < α_{j}

$(δ<α_{j+1} ∨ α_j<δ) \mbox{ if } α_{j+1}<α_j$

(α_{j} < δ < α_{j + 1}) if α_{j} < α_{j + 1}

$(α_j<δ<α_{j+1}) \mbox{ if } α_j<α_{j+1}$

$α_j$ $α_j$ $[0,π)$ $π$ $δ$

$O(n^2)$ $α_j\mbox{ mod }π$ $γ_1,…γ_m$ $δ∈\{\frac{γ_1}2,\frac{γ_1+γ_2}2,…,\frac{γ_{m-1}+γ_m}2,\frac{γ_m+π}2\}$

$δ$ $L$ $-1/\tan δ$ $P$

— jmad
ソース

そのイラストを作るのにどのソフトウェアを使用しましたか？

— ジョイマン

@jojman覚えていませんが、GIMPでなければなりませんでした。当時使用していた他のプログラムは思い出せません。

— jmad