フェルマー素数検定の代わりにミラーラビンが選ばれるのはなぜですか？

Miller-Rabinの証明から、数値がFermat素数性検定に合格した場合、同じ基数（証明の変数）でMiller-Rabin検定にも合格する必要があります。そして、計算の複雑さは同じです。$a$

以下は、Fermat素数テストからのものです。

カーマイケル数は素数よりもかなりまれですが、1フェルマーの素数検定が上記の形式で使用されないことが多いので十分です。代わりに、Baillie-PSW、Miller-Rabin、Solovay-Strassenなど、Fermatテストの他のより強力な拡張機能がより一般的に使用されます。

Miller-Rabinの利点は何ですか？なぜそれがFermat素数テストよりも強力であると言われているのですか？

また、Rabin-Millerアルゴリズムは、番号与えられた場合、Z nにUnityの自明でない根があるかどうかをテストします。$n$$Z_n$

$a$$n$$a$$a$$a,2a,...,2^ra$

したがって、次のようになります。

$n$$1/2$

$1/2$

あなたの発言は何が起こるかとは正反対だと思います。特定のベースのMiller-Rabinテストに合格すると、同じベースのFermatテストに合格することになります。対照的に、特定のベースのフェルマーテストに合格するが、同じベースのミラーラビンテストに失敗する多くのコンポジットがあります。

たとえば、Wikipedia Miller-RabinページのPomerance / Selfridge / Wagstaffによる論文を参照してください。

https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper25.pdf

2ページ目の図を見ると、オイラー疑似素数はフェルマー疑似素数のサブセットであり、強い疑似素数はそれらのサブセットであることがわかります。したがって、Solovay-Strassenテストは、Fermatテストよりも識別力が高く、Miller-Rabinテストはどちらよりも識別力があります。どちらもカーマイケル数の重大な問題を回避します。それらは基本的に同じパフォーマンスを持っているので、Miller-Rabinテストを使用することを好みます。

Miller-RabinがFermatよりも優れていることは明らかです。

$a^{p-1}$

$a^{p-1}$$p-1 = s·2^k$$a^s$$a^{p-1}$

この場合も、結果が1（pを法とする）でない場合、pは合成されます。しかし、結果が pを法とする 1である場合、+ 1または-1ではない中間結果を2乗することにより、1が得られたかどうかを確認します。その場合、xも複合であることが証明されます。

したがって、まったく同じ量の作業を行いますが、xが複合であることを証明する方法は他にもあります。