スパースグラフの低次ノード

LETグラフを有することの頂点のいずれも単離されていない、及びエッジ、。に1次の頂点が少なくとも2つ含まれていることを示します。 $G = (V,E)$ $n$ $n−1$ $n \geq 2$ $G$

プロパティを使用してこの問題を解決しようとしました $\sum_{v \in V} \operatorname{deg}(v) = 2|E|$ 。この問題は、鳩の巣の原理を使用して解決できますか？

graph-theory proof-techniques

— サウラブ
ソース

エッジの数がよりも少ない（必ずしもある必要はない）場合に、より強い結果を証明してみてください。帰納法を使用します。グラフは一般性を失うことなく接続されていると考えることができます（なぜですか）。証明の投稿を見つけたら、以下の回答として投稿してください。

n

$n$

n - 1

$n-1$

n

$n$

— Kaveh

ハト全体の原則を使用することがそのアイデンティティを使用することとどのように異なるかはわかりません。

— ラファエル

そのような疎なグラフはツリーでなければなりませんよね？

— Strin

はい、木です

— Saurabh

@SaurabhHota：その洞察は証明にも使用できます。

— ラファエル

回答:

はい、できます。

あなたが持っているを意味するエッジ、ノード鳩のための穴を。すべてのノードの次数が2（またはそれ以上）であると想定されている場合、各ノードに（少なくとも）2つの鳩を配置する必要があります。これにより、合計で鳩が作成されます。 $n-1$ $2n-2$ $2n$

上記の原理により、（少なくとも）2つのハトが孤立した穴を見つけることはありません。これは、（少なくとも）1つのノードが分離されているか、または（少なくとも）2つのノードにエッジが1つしかないことを意味します。仮定によって分離されるノードはないので、次数が1の（少なくとも）2つのノードがあります。

— ラファエル
ソース

エッジの数はなので、グラフはツリーです。出発頂点取るにおける。次に、任意の方向に歩き始め、頂点を繰り返さずに歩き続けます。以来有限であり、かつサイクルが含まれていません。このプロセスは、最終的に頂点に停止します、場合は度1のまた、持っていた程度1、我々が行っています。そうでない場合は、から別の方向に新しい歩行を開始します。このウォークも1次の頂点で終了します。 $n-1$ $v$ $V(G)$ $G$ $u$ $v$ $v$

— utdiscant
ソース