有限の言葉の決定不可能な有限の言語はありますか？

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そこにあるの必要性のための $L\subseteq \Sigma^*$ であることを無限に決定不能であることが？

私たちは、言語を選択した場合、私は何を意味 $L'$ ことの有界有限バージョン $L\subseteq \Sigma^*$ で、 $|L'|\leq N$ 、（ $N \in \mathbb{N}$ を有する）、 $L' \subset L$ 。 $L'$ が決定不可能な言語になることは可能ですか？

「有限の」Kleeneスター演算の一種である最初の要素となるものを選択するためのルールを確立する必要がある $N$ 単語を選択する方法」の問題があることがわかります。目的は、無限のセットを必要とせずに決定不能な言語を見つけることですが、私にはわかりません。 $\in$ $L' "$ $N$ $L'$

ノートの編集：

私は答えを選びましたが、多くの答えとすべてのコメントが重要です。

formal-languages computability undecidability

— Hernan_eche
ソース

ここには（少なくとも）3つの質問があるようです。1つに集中し、他を編集してください。

— ラファエル

ここでは関係がないため、パワーセットへの参照を削除しました。場合にのみ有限で有限です。

P (S)

$\mathcal{P}(S)$

S

$S$

— ラファエル

@Raphael大丈夫ですが、「からへの追放がないため、決定できない言語が存在する必要がある」 $\mathbb{N}$ $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ と時々読んだため、パワーセットについて言及します。それがを必要とする代わりに、有限ので有限集合で機能しない理由を理解したいので、

L^{'}

$L'$

| L^{'} | \leq N

$|L'|\leq N$

N

$N$

N

$\mathbb{N}$

P (S)

$\mathcal{P}(S)$

— Hernan_eche 2012年

1

私の知る限り、決定不可能な言語の存在は、そのような推測の非存在からすぐに続くものではありません。あなたはいくつかの小さなビットがさらに必要です。なぜ、それはまた別の素晴らしい質問をするでしょう！どうぞ聞いてみませんか？それから、議論が有限言語に引き継がれない理由がわかるはずです。

— ラファエル

3

有限言語は決定可能で、期間、物語の終わりです。そのためのアルゴリズムはいくつもあります。古典的なチューリングマシンモデルを主張する場合、あまり目立たないが、その方法でも実行できます。有限状態オートマトンや通常の言語、またはその他のオートマトンモデルを呼び出す必要はありません。実際、チューリングマシンと比較してさらに明確にすることなく、やりすぎです。

— デビッドルイス

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はい、が決定不可能であるためには無限大である必要があります。 $L$

ラファエルとサムの答えを足し合わせるには、コンピュータプログラムが解決できるものとして「決定可能」について考える必要があります。必要なプログラムは非常に単純です要素に対して「はい」を出力するか、そうでない場合は「いいえ」と言うだけです。 $L$

したがって、「複雑な」が多いほど、プログラムの記述が長くなります。つまり、実行するプログラムが長いほど、より多くのことをチェックできます...したがって、、有限の言語を誰かが与えた場合、次のプログラム： $L$ $L$ $L=\{ a_1, a_2, \ldots, a_n\}$

if INPUT = $a_1$ output Yes;
if INPUT = $a_2$ output Yes;
...
if INPUT = $a_n$ output Yes;
output No;

さて、誰かがあなたにもっと大きな（まだ有限）を与えるなら、あなたはより長いプログラムを書くだけです。これは常に真実であり、有限のには独自のプログラムがあります。唯一の「興味深い」ケースは、が無限大の場合に起こることです-プログラムは無限大ではあり得ません。 $L$ $L$ $L$

「決定不可能性」の問題はさらに興味深いものです。それらのために正しく動作するプログラムを持たない（無限）のものです。有限な（しかし制限のない）長さのプログラムの数よりも（無限の）言語方がはるかに多いので、そのような言語が存在しなければならないことはわかっています。 $L$ $L$

— ランG.
ソース

$L$ $P$ $|P|=K$ $\in L$ $\mathcal{P}(P) \gt K$ $\in L$ $P$

2^{K}

$2^K$

> K

$\gt K$

1

| P | = k

$|P|=k$

O (2^{k})

$O(2^k)$

O (2^{k})

$O(2^k)$

| P | = 1

$|P|=1$

L

$L$ ）

— Ran G.

おかげで、私はそれが弱い声明を知っているが、それは有限と無限の決定不能の言語があるかもしれない大胆だ、と私は、この特殊なケースは、あなたの答えに含まれなければならないと考え、PARTEは「はい、そこにある必要が無限にあるようにLのためには、決定不可能であるために。」特定の条件下では必要ないようです。

— Hernan_eche 2012年

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undecidable

L

$L$ undecidable

P

$P$

P

$P$

P

$P$

L

$L$

P

$P$ undecidable

P

$P$

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質問を正しく理解しているとは思いませんが、有限の言語はすべて規則的です。決定不能な通常の言語はなく、したがって決定不能な有限言語はありません。これらのステートメントはすべてよく知られており、その証拠はHopcroftとUllmanにあります。

— サム・ジョーンズ
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8

$L'$ $L'$

$L'$

$w \in L'$ $w$
$q_0$
$q_0$ $\varepsilon$

$L'$ $L'$ $\mathrm{REG} \subsetneq \mathrm{RE}$

$L'$ $\big|\overline{L'}\big| < \infty$ $L'$

— ラファエル
ソース

2

（計算可能性について考える目的で）まったく興味深いものになるには、決定問題に無限に多くの「はい」の回答と無限に多くの「いいえ」の回答がなければなりません。そのような決定の問題は、アルファベットに無限に多くの文字列を含む言語に正確に対応し、アルファベットに限りなく多くの文字列を除外します。

それ以外のものは、ごく限られた情報（最低でも、言語内または言語外の文字列の大きなリスト）だけでエンコードできるので、単純なDFA /正規表現で計算できます。文字列の有限リストの場合は、すべての文字列のORをとる正規表現をすぐに書き込めることが明らかであることを願っています。

私の計算理論講師の証言は、「神は存在するのか」という問題でした。計算可能-すぐに受け入れるマシン、またはすぐに拒否するマシンによって計算されます。どれがどれかわかりません！

— ベン
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