不等価なバイナリ行列の構築

要素0または1を使用して、すべての非等価行列（または必要に応じて）を構築しようとしています。等価行列を与える操作は、iおよびj行とiおよびj列の同時交換です。。例えば。for $8\times 8$ $n\times n$ $1\leftrightarrow2$

（ \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} ） 〜 （ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} ）

$\begin{equation} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$

最終的には、各クラス内に等価なマトリックスがいくつあるかをカウントする必要がありますが、Polyaのカウント定理はそれを行うことができると思います。今のところ、各非等価クラスに1つのマトリックスを構築するアルゴリズム的な方法が必要です。何か案は？

algorithms combinatorics

— ヘテロティック
ソース

少なくともこれらのうち。それは本当に大きな数字です。

2^{64} / 8! \geq 2^{48}

$2^{64}/8! \geq 2^{48}$

— ユヴァルフィルマス

@Yuval：これらは確かに大きな数字であり、私の計算では、

2^{48}

$2^{48}$ または

場合、実際に違いが生じ

2^{52}

$2^{52}$ ます。実行にさらに数週間かかることがあります！これが、問題の対称性をすべて手元で使用しようとしている理由です。余談ですが、この問題は文字列理論のモデル構築に起因しています！:)

— ヘテロティック

これらすべての行列で何をするつもりですか？どこに保存しますか？アプリケーションは何ですか？

— ユヴァルフィルマス

アイデア：これはグラフ同型問題に非常に似ていないのですか？マトリックスはグラフエッジマトリックスですか？これらは対称的である...多分何とか活用することができ、その上の理論のトンがある...除いて

— vzn

math.stackexchange.com/questions/924745/...

— orezvani

この質問への回答に向けていくつかの進歩を遂げました。他の誰かが興味を持っている場合、およびこの構造が（有向）グラフに何らかの有用性を持っている可能性があるため、ここに投稿しています。

各行の1の数をカウントします。ましょう、ゼロ1Sと行の数も 1 1とし、これまでに行数 8 1Sを持つ行の数です。明らかにです。試行錯誤の結果、提案されたパラメーター化は次のとおりです：ここで、Tはマトリックスのトレースで、Sはマトリックスが対称の場合は、そうでない場合はです。Tはからます。 $a_0$ $a_1$ $a_8$ $\sum a_i=8$

(a_{1}, \dots, a_{8}; T, S)

$(a_1,\cdots, a_8; T, S)$

1

$1$

0

$0$

0

$0$

\sum_{i = 1}^{8} a_{i} = 8 - a_{0}

$\sum_{i=1}^8 a_i=8-a_0$

私の試行錯誤から、このパラメーター化で2つのマトリックスが異なる場合、それらは異なる等価クラスに属するため、各クラスの代表を構築するために、上記のようにパラメーターのスペースをスキャンします。

（更新）このパラメーター化は、n = 2でうまく機能しますが、ブルートフォース計算でわかるように、n = 3ではうまくいきません。私はまだ答えの構造に関する洞察を提供していると思うので、最も一般的なケースをカバーするために、人々にそれを修正/拡張してみてください。

— ヘテロティック
ソース

これが機能する場合、それは驚くべきことであり、興味深いでしょう。これで十分な理由（つまり、2つの行列のパラメーターが同じである場合、それらが同じ等価クラスにあることが保証される理由）には明確な理由はありません。何らかの証拠がなければ、私は懐疑的です。開始点として、あなたは（小さな行列に、この推測を検証することを試みることができる、、...、）網羅。より良いテストは、SATソルバーを使用して、推測への反例を探すことです。

1 \times 1

$1 \times 1$

2 \times 2

$2\times 2$

7 \times 7

$7 \times 7$

— DW

@DW：確かに、この条件が十分であるという証拠であり、私と私が何らかの助けを必要とするものを悩ませます。小規模なケースについて徹底的に検証して、何が起こるかを確認します。アドバイスをありがとう！残念ながら、SATソルバーを使用して反例を探す方法はわかりません。推測は、小さな行列のために保持している場合は、私が...それについての学習を開始する可能性があります

— たヘテロ

理にかなっている、Heterotic！実際に、SATソルバーの使用に関する私の声明を取り戻します。SATソルバーを使用して反例を探す方法もわからない（最初は思っていたよりも難しい）ので、コメントのその部分は無視してください。ごめんなさい！

— DW

同じパラメーター化の不等行列があります。

を変更して列の1をカウント

ことにより、等価演算の下で不変のパラメーター化も得られることに注意してください。このことから、我々は結論付けることができ、その中に1件のもつ行列

及び

RESP。

及び

a_{i}

$a_i$

(1, 4)

$(1,4)$

(2, 3)

$(2,3)$

(1, 4)

$(1,4)$

(2, 4)

$(2,4)$ （両方のエントリ0の残りすべて）は同等ではありませんが、同じパラメーター化を持っています。（もちろん、これによりすぐにパラメーター化が改善され、列も考慮されます。）

— FrankW 14年

それは混乱他人...しないようたヘテロは、今、あなたはあなたの答えは仕事をしません知っていることを、私はあなたの答えを削除することをお勧めしたい

— DW