{ww | …}コンテキストフリー？

言語定義 $L$ として $L = \{a, b\}^* - \{ww\mid w \in \{a, b\}^*\}$ 。つまり、 $L$ は、2回繰り返される単語として表現できない単語が含まれています。ある $L$ 文脈自由かどうかは？

$L$ をと交差させようとしました $a^*b^*a^*b^*$ が、まだ何も証明できません。パリクの定理も調べましたが、助けにはなりません。

formal-languages context-free formal-grammars

— エフゲニー・エルティシェフ
ソース

この密接に関連した質問に注意してください。

— ラファエル

回答:

コンテキストフリーです。文法は次のとおりです

$S \to A | B|AB|BA$
$A \to a|aAa|aAb|bAb|bAa$
$B \to b|aBa|aBb|bBb|bBa$

は、を中央に持つ奇数長の単語を生成します。とについても同じです。 $A$ $a$ $B$ $b$

この文法が正しいことの証明を提示します。してみましょう（問題の言語）。 $L = \{a,b\}^* \setminus \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$

定理。 。つまり、この文法は問題の言語を生成します。 $L = L(S)$

証明。 この文法はすべての奇数長の単語を生成するため、これはと同様に、すべての奇数長の単語に当てはまります。それでは、偶数の単語に焦点を当てましょう。 $L$

仮定偶数の長さを持っています。私はその紹介。特に、は形式で記述できると主張しています。ここで、とは長さが奇数で、中心文字が異なります。したがって、はまたはいずれかから派生できます（の中央文字がかかによって）。主張の正当化：番目の文字を $x \in L$ $x \in L(G)$ $x$ $x=uv$ $u$ $v$ $x$ $AB$ $BA$ $u$ $a$ $b$ $i$ $x$ 示されるように、。それ以来でない、いくつかの指標が存在しなければならないそのようなことは。したがって、 $x_i$ $x = x_1 x_2 \cdots x_n$ $x$ $\{ww \mid w \in \{a,b\}^{n/2}\}$ $i$ $x_i \ne x_{i+n/2}$ および ; 中央文字あろう、及び中央文字あろうそう構成で、異なる中心文字を持っています。 $u = x_1 \cdots x_{2i-1}$ $v = x_{2i} \cdots x_n$ $u$ $x_i$ $v$ $x_{i+n/2}$ $u,v$

次仮定するも長さを有します。私たちは持っている必要があることを紹介します。長さが偶数の場合、またはから導出可能でなければなりません。一般性を失うことなく、から導出可能であり、で、はから導出可能であり、はから導出可能であるとします。長さが同じ場合なければなりません $x \in L(G)$ $x \in L$ $x$ $AB$ $BA$ $AB$ $x=uv$ $u$ $A$ $v$ $B$ $u,v$ （それらが異なる中央の文字を持っているので）、そう。だから、と仮定長さ、異なる長さを持っていると言うとそれぞれ。その後、それらの中心文字である及び。その事実 $u\ne v$ $x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$ $u,v$ $\ell$ $n-\ell$ $u_{(\ell+1)/2}$ $v_{(n-\ell+1)/2}$ 異なる中心文字手段を持つ。以来、、この手段その。をとして分解しようとすると $u,v$ $u_{(\ell+1)/2} \ne v_{(n-\ell+1)/2}$ $x=uv$ $x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2}$ $x$ ここで同じ長さを有し、次に我々は発見するでしょう、すなわち、、そう $x=ww'$ $w,w'$ $w_{(\ell+1)/2} = x_{(\ell+1)/2} \ne x_{(n+\ell+1)/2} = w'_{(\ell+1)/2}$ $w\ne w'$ 。具体的には、その次。 $x \notin \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$ $x \in L$

— エフゲニー・エルティシェフ
ソース

Evgeny Eltishevによって与えられたヒント/スケッチに基づいて、この文法の正しさの証拠を提供するために回答を編集しました。うまくいけば、これがなぜ機能するのかがより明確になるはずです。

— DW

Can it generate "aabb" ?

— manasij7479

@manasij7479 Yes:

$S \to AB \to aB \to a(aBb) \to aabb$ .

— J.-E. Pin

This language is context free it was proved in the following paper:

Tomaszewski, Zach. "A Context-Free Grammar for a Repeated String." Journal of Information and Computer Science, 2012 (PDF).

The grammar is as follows:

$\begin{align*} S&\to E\mid U\mid \epsilon\\ E&\to AB\mid BA\\ A&\to ZAZ\mid a\\ B&\to ZBZ\mid b\\ U&\to ZUZ\mid Z\\ Z&\to a\mid b \end{align*}$

— A. Mashreghi
ソース

Welcome! The following is not a criticism of this answer. The Journal of Information and Computer Science is published by "World Academic Union", which is on Beall's list of predatory open access publishers. It's sad that there are companies in the world who will take relatively large amounts of people's money to publish papers that do nothing more than solve undergraduate-level exercises.

— David Richerby

I don't have enough reputation to comment on the above answer. But that grammar seems wrong to me. It cannot generate "aaab" which is in the language.

— A. Mashreghi

After performing

$CFG \to CNF \to CYK$ (you should try it),

$S\to AB\to aAaB\to aaaB\to aaab$ , so it seems it can generate

$aaab$ .

— Evil

You right it does

— A. Mashreghi