DPDAが構造によって補完の下で閉鎖されていることを示す

確定的なPDAが補完の下で閉じられていることを正式に示すことができるように、かなり長い間、構造を見つけるために努力してきました。しかし、私が得たすべてのアイデアには、結局は合わないものがあります。手を貸してくれませんか。

主な問題はε-movesで発生します。PDAは、最終ではない（拒否状態）で入力の読み取りを終了できますが、それでもε移動によって最終（受け入れ）状態に移行し、文字列を受け入れることになります。つまり、死んだ状態を追加して状態を補完するだけでは機能しません。私はすでにε-movesの可能な無限シーケンスの問題を解決したので、それは私の質問の主要部分ではありません。

編集：私が理解している限り、DPDAが入力の終わりに達し、受け入れ状態にあり、ε移動によって拒否状態に移行しても、それはそれを受け入れます（入力記号が残っていない最終状態に達したため）読んだ）。

より明確にできるかどうか教えてください。

これまで書く時間はありませんでしたが、答えを見つけました。これが私がしたことです：

してみましょうオリジナルで。新しいを作成し、と呼びます（は変更済みを表します）。O P D A P D A M $O$$PDA$$PDA$$M$$M$

の補集合を見つけるために、最終状態を非最終状態に、またはその逆に反転できます。これは有限オートマトンの場合と同じ手順です。ただし、微妙です。主な問題は、元のPDAでは入力が最終状態ではない状態つながる可能性があるが、を実行して受け入れ状態到達する可能性があることです。上記のように状態を反転すると、後でが行われる場合でも、はで入力で終了し、最終状態（が入力を受け入れる）になります。O O W S ε - M O のV E S ' M S W M ε - M O のV E S ' O M W S S ' S ε - M O のV $O$$O$$w$$S$$\epsilon-move$$S'$$M$$S$$w$$M$$\epsilon-move$$S'$、非受け入れ状態。したがって、と両方がを受け入れます。が最終状態であり、が介してから到達可能な非最終状態である場合にも、同様のことが起こります。$O$$M$$w$$S$$S'$$S$$\epsilon-move$

この問題を克服するには、次のシンボルを読み取る前に、すべての -movesが発生することを確認する必要があります。つまり、私たちはのパス場合にのみ、読み取り状態になります -movesが続いていると我々は何も持っていない状態に達し -move利用可能に。これらの後者の状態は、新しい遷移を実行するために実際のシンボルが必要なため、状態を読み取りと呼びます。ϵ ϵ $\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$

の状態を形式のタプルとして定義します。ここで、（は元の状態のセット）およびです。M < $M$、N > Q ∈ Q Q P D A N ∈ { 1 、2 、3 、4 $<q, n>$$q \in Q$$Q$$PDA$$n \in \{1, 2, 3, 4\}$

• もしに、聞かせてで場合。δ （Q 、ε 、X ）= < Q '、α > O δ （$\delta(q, \epsilon, X) = <q', \alpha>$$O$ Q 、3 > 、ε 、X ）= < < Q '、2 > 、α > M Q ∈ F $\delta(<q, 3>, \epsilon, X) = <<q', 2>, \alpha>$$M$$q \in F_O$

• もしに、聞かせてで if。δ （Q 、ε 、X ）= < Q '、α > O δ （< $\delta(q, \epsilon, X) = <q', \alpha>$$O$、3 > 、ε 、X ）= < < Q '、3 > 、α > M Q ∉ F $\delta(<q, 3>, \epsilon, X) = <<q', 3>, \alpha>$$M$$q \notin F_O$

• もしに、聞かせてで。δ （Q 、ε 、X ）= < Q '、α > O δ （< Q 、2 > 、ε 、X ）= < < Q '、2 > 、α > $\delta(q, \epsilon, X) = <q', \alpha>$$O$$\delta(<q, 2>, \epsilon, X) = <<q', 2>, \alpha>$$M$

• 場合さで、でδ （Q 、ε 、X ）U N D E F I N E D O δ （< Q 、2 > 、ε 、X ）= < < qは、1 > 、X > $\delta(q, \epsilon, X)$$undefined$$O$$\delta(<q, 2>, \epsilon, X) = <<q, 1>, X>$$M$

• 場合さで、でδ （Q 、ε 、X ）U N D E F I N E D O δ （< Q 、3 > 、ε 、X ）= < < Q 、4 > 、X > $\delta(q, \epsilon, X)$$undefined$$O$$\delta(<q, 3>, \epsilon, X) = <<q, 4>, X>$$M$

これらの定義では、我々は、フォームの状態を聞かせて及び消費しない -moves模倣の-movesもう存在まで。次に、実行して、読み取り状態に移動します。読書状態について、< q 、2 > < q 、3 > ϵ ϵ O $<q, 2>$$<q, 3>$$\epsilon$$\epsilon$$O$$\epsilon$

• もしに、聞かせてで。δ （Q 、、X ）= < Q '、α > O δ （< qは、1 > 、、X ）= δ （< Q 、4 > 、、X ）= < < Q '、3 > 、α > $\delta(q, a, X) = <q', \alpha>$$O$$\delta(<q, 1>, a, X) = \delta(<q, 4>, a, X) = <<q', 3>, \alpha>$$M$

この定義を行うことにより、入力のシンボルを消費し、形式の状態に移動して、新しい一連の -moves を開始します。< q 、3 > $<q, 3>$$\epsilon$

最後に、場合形式の状態が状態を受け入れるようにします。また、が初期状態である場合は、をの初期状態にします。$<q, 4>$$M$$q \notin F_O$$<q_0, 3>$$M$$q_0$$O$

私たちがしたことは次のとおりです：

状態の4つの「フロア」を作成します（状態のタプルの2番目の要素は、どのフロアにいるかを決定します）。フロア3つの模倣の-movesおそらく受け入れ状態到達の。その場合は、2階に移動します。これ以上存在する場合にはそうでない場合、我々は床3に残っていないの従うこと-moves、我々は定義の-moves読み取り状態に到達します。1階と4階は読書状態に対応しています。3階にいた場合は4階に行きます。2階にいた場合は1階に行きます。州（4階にある州）のみが$M$$\epsilon$$O$$q$$O$$\epsilon$$O$$\epsilon$$M$$<q, 4>$$M$、ただしは受け入れ状態ではない。$q$$O$

これを書くときにタイプミスをしたかどうか教えてください。簡単に間違えたかもしれません。また、私の英語はあまり上手ではありませんので、遠慮なく編集して言い換えてください。

Sipserの計算理論入門（3版にはDCFLに関するセクションがあります）には、一度に読み取りとポップを行う状態を分割することにより、オートマトンの読み取り状態を識別する構成による証明があります。これらの読み取り状態のみが最終状態になることができ、補完的なDPDAを取得するには、読み取り状態のセット内の受け入れ動作を逆にするだけです。$^{rd}$

一般性を失うことなく、オートマトンに -transitionsがないと仮定できます。$\varepsilon$

これは、Grebach正規形に適用されたCFGからPDAまでの標準構成を使用することによって示すことができます。でストレージとオートマトンでサイレントトランジション、G. Zetzscheは最近、オートマトン上で直接工事を提示しました。

潜在的な警告：私は、適切な、つまり「決定論的」な文法に適用すると、上記の標準構造がDPDAを生成し、この適合性がグレイバッハの正規形の変換に耐えることを想定しています。